Exercícios Resolvidos de Gráficos do MHS

PUCRIO-P1-2013.1-Q2

Durante um conserto de uma roda-gigante com raio de 40 metros, um técnico deixa apenas um dos carrinhos instalado. Para testes, a roda é acionada por volta de meio-dia, até atingir uma velocidade angular constante correspondente a uma volta a cada 180 segundos, no sentido anti-horário. O técnico então observou que a sombra do carrinho projetada no chão descreve um movimento harmônico simples. Suponha que o técnico começou a observar a sombra quando o carrinho se encontrava no alto da trajetória. (Adote o ponto central da projeção como origem do eixo x e considere que a sombra possui velocidade inicial negativa).

  1. Encontre a amplitude do movimento da sombra projetada no solo.
  2. Encontre o período e a frequência angular deste movimento.
  3. Escreva as equações que descrevem a posição, a velocidade e a aceleração da sombra em função do tempo neste movimento harmônico simples.
  4. Faça um gráfico da sombra em função do tempo para dois períodos. No gráfico devem estar indicados, numericamente, os valores máximo e mínimo da posição e os tempos em que a sombra atinge esses pontos.

Passo 1

a)

Galera, aqui a gente precisa perceber apenas uma coisa: um MHS pode ser encarado como uma projeção de um MCU.

A figura abaixo ilustra isso:

Tá vendo a linha preta embaixo do círculo? Essa é a representação do MHS.

Bom, com isso, podemos responder a primeira pergunta: qual a amplitude?

Pela figura, percebemos que a amplitude é o raio do círculo.

Então:

A = R = 40   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Seguindo a mesma idéia de antes, é fácil perceber que o período, frequência e a frequência angular do movimento serão os mesmo que o do MCU.

Então, o período do MHS já está dado no enunciado.

Segundo o enunciado, a roda gigante completa uma volta a cada 180   s . Isso quer dizer que o período é justamente esse:

T = 180 s

E a frequência angular é:

ω = 2 π 180 = π 90   r a d / s 0,0349   r a d / s

Passo 3

c)

A posição segue o modelo dos MHS e é dada por:

x t = A c o s ω t + φ

Já sabemos quase tudo, menos a fase ( φ ).

Bom, a informação que temos é que o movimento do carrinho, e de sua sombra, começa quando o carrinho se encontra no ponto mais alto da trajetória. Nesse caso, a projeção da sua sombra se encontra na origem do sistema que descreve o MHS( aquela linha preta lá de cima).

Então, depois de tanto blá blá blá, o que quero dizer é que:

x 0 = 0

Ou seja:

x 0 = A c o s φ = 0 cos φ = 0   φ = π 2

Show! Então:

x t = 40 cos 0,0349 t + π 2

Pra achar a velocidade e a aceleração, basta a gente derivar esse equação uma vez e depois derivar de novo:

v t = - 1,40 s e n 0,0349 t + π 2

a t = - 0,0487 cos 0,0349 t + π 2

Passo 4

d)

Basta a gente pegar sucessivos valores de tempo pra formar o gráfico:

Resposta

a)

A = R = 40   m

b)

T = 180 s

ω 0,0349   r a d / s

c)

x t = 40 cos 0,0349 t + π 2

v t = - 1,40 s e n 0,0349 t + π 2

a t = - 0,0487 cos 0,0349 t + π 2

d)

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