Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

Ver Teoria

Enunciado

Um ponto move-se sobre a circunferência de raio R desacelerando, de modo que no cada instante os módulos da aceleração radial e transversal são iguais. Sabendo que no instante t = 0 a velocidade angular do ponto é igual a ω 0 . Encontre, usando coordenadas polares:

  1. A velocidade angular ω do ponto.
  2. A velocidade v do ponto.
  3. A aceleração a do ponto.

Formulário:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

v = r ˙ e r + r θ ˙ e θ

Passo 1

a):

Do formulário:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Além disso, vamos guardar a informação de que no tempo inicial, isso é, quando t = 0 , a velocidade angular é ω 0 .

Bom, o enunciado disse que a aceleração transversal é igual à aceleração transversal radial. Então:

- R θ ˙ 2 = R θ ¨

Isso é: Lembra de mecânica? A aceleração radial era dada por:

a r = ω 2 R

E a aceleração transversal, aquela que é perpendicular à radial, era dada por:

a t r a n s = R θ ¨

Voltando a equação. Chamando θ ˙ = ω :

- R θ ˙ 2 = R θ ¨

- θ ˙ 2 = θ ¨

- ω 2 = ω ˙

Show! Agora chegamos a uma EDO. Se você não lembra direito como se resolve isso, dá uma olhada no nosso material de cálculo.( provavelmente estará em cálculo 2).

Mas vamos resolver devagar:

- ω 2 = d ω d t

d t = - d ω ω 2

Integrando os dois lados:

t + C = 1 ω   → ω t = 1 t + C

Onde C é a constante de integração. A gente pode chá-la usando a nossa condição inicial (:

ω 0 = 1 0 + C = ω 0

C = 1 ω 0

Então, reescrevendo a expressão de ω pra esse valor de C :

ω t = 1 t + C = ω 0 ω 0 t + 1

Passo 2

b):

Bom, a velocidade linear é a velocidade angular vezes o raio. Lembre-se disso:

A aceleração linear, a , é a aceleração angular vezes o raio: a = α R .

A velocidade linear é a velocidade angular vezes o raio: v = ω R .

E o deslocamento é o deslocamento angular vezes o raio: s = θ R .

Então, a velocidade linear será:

v = ω R = ω 0 ω 0 t + 1 . R

Passo 3

c):

Agora vamos lembrar daquela expressão que escrevemos na a):

- ω 2 = ω ˙

Bom, só que quem é a derivada da velocidade angular ω ˙ ?É a aceleração angular!

Então a aceleração angular é:

α = - ω 2

Lembrando do que eu disse, a linear vai ser isso vezes o raio:

a = α R = - ω 2 R

Usando a expressão de ω :

a = - ω 0 ω 0 t + 1 2 R

Resposta

a):

ω t = ω 0 ω 0 t + 1

b):

v = ω 0 ω 0 t + 1 . R

c):

a = - ω 0 ω 0 t + 1 2 R

Exercícios de Livros Relacionados

Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função aceleração a(t) aparece na Fig. 15-55 se a função posição x(t) é da forma x = x m c o s ω t + ϕ e a s = 4,0 m / s 2 ?
Recentemente tornou-se possível “pesar” moléculas de DNA medindo a influência de sua massa sobre um nano-oscilador. A figura mostra uma haste fina, retangular e nanométrica, escavada em silicone (dens
A figura ( a ) é um gráfico parcial da função posição x ( t ) de um oscilador harmônico simples com uma frequência angular de 1,20r a d / s ; a figura ( b ) é um gráfico parcial da função velocidade v
A FIGURA Q14.4 mostra um gráfico posição versus tempo para uma partícula em MHS. a. Qual é a constante de fase ϕ 0 ? Explique. b. Qual é a fase da partícula em cada um dos três pontos numerados no grá
A FIGURA Q14.5 mostra um gráfico velocidade versus tempo para uma partícula em MHS. a. Quanto vale a constante de fase ϕ 0 ? Explique. b. Qual é a fase da partícula em cada um dos três pontos, numerad