Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

Ver Teoria

Enunciado

Passo 1

Devemos começar achando os pontos críticos. Primeiro vamos calcular as derivadas da função

f x = 5 x 4 - 5

f y = 5 y 4 - 5

Então os pontos críticos são aquele que

5 x 4 - 5 = 0

5 y 4 - 5 = 0

Passo 2

A primeira e a segunda equação nos dizem que

x 4 = 1

y 4 = 1

Assim, como o expoente é par, temos que

x = ± 1

y = ± 1

Os pontos críticos são

P 0 = 1,1

P 1 = ( - 1 , - 1 )

P 2 = ( 1 , - 1 )

P 3 = ( - 1,1 )

Passo 3

Agora devemos calcular o determinante de

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 5 x 4 - 5 = 20 x 3

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 5 y 4 - 5 = 20 y 3

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 5 y 4 - 5 = 0

Passo 4

Agora, como temos mais de um ponto crítico, vamos calcular o determinante num ponto genérico e depois a gente substitui o resultado nos pontos críticos para classifica-los.

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P = 20 x 3 . 20 y 3 - 0.0 = 400 x 3 y 3

Passo 5

Agora vamos substituir nos pontos críticos.

H P 0 = H 1,1 = 400

H P 1 = H - 1 , - 1 = 400

H P 2 = H 1 , - 1 = - 400

H P 3 = H - 1,1 = - 400

Como H ( P 2 ) e H P 3 são menores que zero, temos que P 2 = ( 1 , - 1 ) e P 3 = ( - 1,1 ) são pontos de sela.

Como H ( P 0 ) e H P 1 são maiores que zero, temos que analisar o sinal de f x x .

f x x P 0 = f x x 1,1 = 20 . 1 3 = 20 > 0

f x x P 1 = f x x - 1 , - 1 = 20 . ( - 1 ) 3 = - 20 < 0

Logo, P 0 = 1,1 é ponto de mínimo local e P 1 = ( - 1 , - 1 ) é ponto de máximo local.

Passo 6

Agora temos que analisar se P 0 e P 1 são também pontos de mínimo e máximo globais, respectivamente.

Vamos tentar provar que f ( P 0 ) é o menor valor que a função pode assumir e f ( P 1 ) é o maior valor que a função pode assumir.

f x , y = x 5 + y 5 - 5 x - 5 y

Essa função é um polinômio e não possui nenhuma restrição para seus valores (por exemplo, ela não tem termos elevados a expoentes pares, que limitaria valores positivos).

Isso significa então, que se tivermos x constante e y podendo assumir qualquer valor, inclusive ± ∞ , nossa função tenderá a ± ∞ .

Assim, ela não possui nem mínimo nem máximo global.

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.28. z = x 4 + 1 4 y 5 + x + 1 3 y 3 + 15
Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.30. z = 4 x y - x 4 - 2 y 2
Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.32. z = y . cos ⁡ x
Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.4. z = x 2 + y 2
Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.3-z = x 4 -2 x 2 +y 2 -9