Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

Se três números positivos x , y e z é tal que o produto x ∙ y 3 ∙ z 2 = 108 , determine tais números sabendo que sua soma, x + y + z assume valor máximo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar três números positivos cujo produto x ∙ y 3 ∙ z 2 = 108 e que tem a soma com valor máximo. Como nós temos uma função que é maximizada, f x ,   y ,   z = x + y + z , e uma restrição g x ,   y ,   z = x y 3 z 2 = 108 , nós podemos usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar nossa solução.

Dessa forma, pra encontrar os pontos de máximo ou de mínimo basta resolver o seguinte:

i j k f x f y f z g x g y g z = ( 0 ,   0 ,   0 )

Onde f x , f y e f z são as derivadas parciais da função f . E g x , g y , g z são as derivadas parciais da função g . Resolvendo esse determinante nós vamos conseguir descobrir os valores de x , y e z .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f x ,   y ,   z = x + y + z na forma:

∇ f x ,   y ,   z = f x ,   f y ,   f z

Derivando em relação a cada variável e mantendo as outras constantes, temos:

∇ f x ,   y ,   z = ( 1 ,   1 ,   1 )

Esse é o vetor gradiente da função f .

Agora vamos calcular o vetor gradiente da função g x ,   y ,   z = x y 3 z 2 - 108 derivando em relação a cada variável:

∇ g x ,   y ,   z = g x ,   g y ,   g z

∇ g x ,   y ,   z = y 3 z 2 ,   3 x y 2 z 2 ,   2 x y 3 z

Passo 3

Agora podemos montar nossa matriz:

i j k 1 1 1 y 3 z 2 3 x y 2 z 2 2 x y 3 z = ( 0 , �� 0 ,   0 )

Calculando o determinante, temos:

2 x y 3 z i + y 3 z 2 j + 3 x y 2 z 2 k - y 3 z 2 k - 3 x y 2 z 2 i - 2 x y 3 z j = ( 0 ,   0 ,   0 )

Na forma vetorial, fica:

2 x y 3 z - 3 x y 2 z 2 ,   y 3 z 2 - 2 x y 3 z ,   3 x y 2 z 2 y 3 z 2 = ( 0 ,   0 ,   0 )

Como o vetor é igual ao vetor nulo, então cada componente é igual a zero:

2 x y 3 z - 3 x y 2 z 2 = 0

y 3 z 2 - 2 x y 3 z = 0

3 x y 2 z 2 - y 3 z 2 = 0

Da primeira equação, temos:

2 x y 3 z = 3 x y 2 z 2

y = 3 2 z

Na segunda equação, temos:

y 3 z 2 = 2 x y 3 z

z = 2 x → x = z 2

E da terceira equação:

3 x y 2 z 2 = y 3 z 2

x = y 3

Passo 4

Vamos pegar um desses resultados e substituir na nossa função g x ,   y ,   z = x y 3 z 2 - 108 , que é a nossa restrição:

x y 3 z 2 = 108

Usando y = 3 2 z e x = z 2 , temos:

z 2 3 2 z 3 z 2 = 108

z 2 27 4 z 3 z 2 = 108

Logo,

z 6 = 64 → z = 2

Substituindo z = 2 em x = z 2 , temos:

x = 2 2 = 1

E para y = 3 2 z :

y = 3 2 2 = 3

Assim, nossos números são x = 1 , y = 3 e z = 2 , e a soma:

x + y + z = 6

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = 1 ,     y = 3 ,     z = 2

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