Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(n) f x , y = 3 x 2 + y 2 + x y - 2 x - 2 y .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = 3 x 2 + y 2 + x y - 2 x - 2 y

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ 3 x 2 + y 2 + x y - 2 x - 2 y ∂ x , ∂ 3 x 2 + y 2 + x y - 2 x - 2 y ∂ y

∇ f = 6 x + y - 2 , 2 y + x - 2

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 6 x + y - 2,2 y + x - 2 = 0,0

6 x + y - 2 = 0

2 y + x - 2 = 0 → x = 2 - 2 y

Substituindo a segunda equação na primeira...

6 x + y - 2 = 0 → 6 2 - 2 y + y - 2 = 0

12 - 12 y + y - 2 = 0

11 y = 10

y = 10 11

Dessa forma temos

x = 2 - 2 10 11

x = 2 11

Portanto temos apenas um ponto crítico P 1 = 2 11 , 10 11

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 6 x + y - 2 ∂ x = 6

f x y = ∂ 6 x + y - 2 ∂ y = 1

f y x = ∂ 2 y + x - 2 ∂ x = 1

f y y = ∂ 2 y + x - 2 ∂ y = 2

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 6 1 1 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P 1 , temos

H P 1 = 6 1 1 2

D e t H P 1 = 11

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x > 0 podemos afirmar que P 1 é um ponto de mínimo.

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

P 1 = 2 11 , 10 11

H = 6 1 1 2

P 1 é um ponto de mínimo

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