Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(d) f x , y = x 2 9 + y 2 4 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = x 2 9 + y 2 4

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ x 2 9 + y 2 4 ∂ x , ∂ x 2 9 + y 2 4 ∂ y

∇ f = 2 x 9 , y 2

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 2 x 9 , y 2 = 0,0

2 x 9 = 0 → x = 0

y 2 = 0 → y = 0

Portanto temos apenas um ponto crítico P = 0,0

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 2 x 9 ∂ x = 2 9

f x y = ∂ 2 x 9 ∂ y = 0

f y x = ∂ y 2 ∂ x = 0

f y y = ∂ y 2 ∂ y = 1 2

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 2 9 0 0 1 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Calculando o determinante de H , temos

D e t H = 2 9 · 1 2 - 0 · 0 = 1 9

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x > 0 , podemos afirmar que P é um ponto de mínimo.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∇ f = 2 x 9 , y 2

P = 0,0

H = 2 9 0 0 1 2

P é um ponto de mínimo

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