Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

Considere a função

f x , y = 16 - x 2 - 16 y 2   ,   s e   x 2 + 16 y 2 ≤ 12 x 2 + 16 y 2 - 8   ,   s e   x 2 + 16 y 2 > 12

Considere as seguintes afirmações:

  1. O gráfico de f é união de uma porção de um elipsoide e de um hiperboloide de uma folha.
  2. A função f é contínua em x , y ; x 2 + 16 y 2 = 12
  3. O máximo absoluto de f é 4

Assinale a resposta certa:

  1. Nenhuma das opções
  2. Somente as afirmações I e III são verdadeiras
  3. Somente a afirmação II é verdadeira
  4. Somente as afirmações I e II são verdadeiras
  5. Todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

Vamos analisar cada afirmativa:

  1. O gráfico de f é união de uma porção de um elipsoide e de um hiperboloide de uma folha.

Vamos lembrar as equações do elipsoide e do hiperboloide de uma folha?

Elipsoide:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 + z - z 0 2 c 2 = 1

Hhiperboloide de uma folha:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

Agora vamos comparar com a nossa função:

f x , y = 16 - x 2 - 16 y 2 x 2 + 16 y 2 - 8  

z = 16 - x 2 - 16 y 2   x 2 + 16 y 2 - 8

z 2 = 16 - x 2 - 16 y 2   x 2 + 16 y 2 - 8

Agora vamos separar isso pra ficar mais fácil de enxergar.

Da primeira equação, temos

z 2 = 16 - x 2 - 16 y 2 ⇒ x 2 + 16 y 2 + z 2 = 16

Dividindo os dois lados por 16:

x 2 16 + y 2 + z 2 16 = 1

Que tem exatamente a mesma cara da equação do elipsoide.

Agora, da segunda equação, temos

z 2 = x 2 + 16 y 2 - 8 ⇒ x 2 + 16 y 2 - z 2 = 8

Dividindo tudo por 8:

x 2 8 + 2 y 2 - z 2 8 = 1

x 2 8 + 2 y 2 - 1 8 = z 2

x 2 16 + y 2 + x 2 8 + 2 y 2 - 1 8 16 = 1

x 2 16 + y 2 + x 2 + 16 y 2 - 8 16 = 1

2 x 2 + 32 y 2 - 8 16 = 1

2 x 2 + 32 y 2 - 8 = 16

2 x 2 + 32 y 2 - 8 = 24

x 2 + 16 y 2 = 12

Arrumando de outra forma:

x 2 8 + y 2 1 2 - z 2 8 = 1

Ficamos exatamente com a cara do hiperboloide de uma folha.

Assim, a afirmativa I é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A afirmativa II diz que no ponto onde a função muda sua lei de formação, ela é contínua.

Se uma função é contínua num ponto, isso significa que seu gráfico não apresenta “bico” nesse ponto.

E, se você observar, a curva x 2 + 16 y 2 = 12

Que é onde queremos saber se a função é contínua, é exatamente a curva de interseção entre o elipsoide e o hiperboloide de uma folha que compõem nossa função.

Olha só:

Se isolarmos o z 2 na equação do hiperboloide de uma folha

x 2 8 + 2 y 2 - z 2 8 = 1 ⇒ x 2 8 + 2 y 2 - 1 8 = z 2

E substituirmos na equação do eipsoide

x 2 16 + y 2 + z 2 16 = 1 ⇒ x 2 16 + y 2 + x 2 8 + 2 y 2 - 1 8 16 = 1

Encontramos a curva

x 2 + 16 y 2 = 12

Isso significa que em todos os pontos sobre a curva x 2 + 16 y 2 = 12 a função é contínua, pois não apresenta “bicos”.

Passo 3

Para a ultima afirmação, pra não termos que ficar fazendo aquele monte de coisa pra achar o máximo da função, vamos fazer um teste.

Nossa função é

f x , y = 16 - x 2 - 16 y 2   ,   s e   x 2 + 16 y 2 ≤ 12 x 2 + 16 y 2 - 8   ,   s e   x 2 + 16 y 2 > 12

E se x 2 + 16 y 2 > 12 , por exemplo, vamos fazer um teste, se usarmos

x 2 + 16 y 2 = 50

Teremos:

f x , y = x 2 + 16 y 2 - 8 = 50 - 8 = 42 > 4

Ou seja, a função pode assumir valores maiores que 4, logo 4 não é o máximo absoluto da função.

Assim, a ultima afirmação é falsa.

Resposta

L e t r a   d

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