Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

Ver Teoria

Enunciado

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(k) f x , y = x 2 + 2 x y + 2 y 2 - x + 2 y .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = x 2 + 2 x y + 2 y 2 - x + 2 y

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ x 2 + 2 x y + 2 y 2 - x + 2 y ∂ x , ∂ x 2 + 2 x y + 2 y 2 - x + 2 y ∂ y

∇ f = 2 x + 2 y - 1 , 2 x + 4 y + 2

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 2 x + 2 y - 1,2 x + 4 y + 2 = 0,0

2 x + 2 y - 1 = 0

2 x + 4 y + 2 = 0 → x + 2 y + 1 = 0 → x = - 2 y + 1

Substituindo a segunda equação na primeira...

2 x + 2 y - 1 = 0 → 2 - 2 y - 1 + 2 y - 1 = 0

- 4 y - 2 + 2 y - 1 = 0

- 2 y - 3 = 0

y = - 3 2

Dessa forma temos

x = - 2 - 3 2 + 1 = 2

Portanto temos apenas um ponto crítico P 1 = 2 , 3 2

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 2 x + 2 y - 1 ∂ x = 2

f x y = ∂ 2 x + 2 y - 1 ∂ y = 2

f y x = ∂ 2 x + 4 y + 2 ∂ x = 2

f y y = ∂ 2 x + 4 y + 2 ∂ y = 4

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 2 2 2 4

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P 1 , temos

H P 1 = 2 2 2 4

D e t H P 1 = 4

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x > 0 , podemos afirmar que P 1 é um ponto de mínimo.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

P 1 = 2 , 3 2

H = 2 2 2 4

P 1 é um ponto de mínimo

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.28. z = x 4 + 1 4 y 5 + x + 1 3 y 3 + 15
Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.30. z = 4 x y - x 4 - 2 y 2
Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.32. z = y . cos ⁡ x
Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.4. z = x 2 + y 2
Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.3-z = x 4 -2 x 2 +y 2 -9