Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

Ver Teoria

Enunciado

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(m) f x , y = x + 2 y - 2 x y - x 2 - 3 y 2 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = x + 2 y - 2 x y - x 2 - 3 y 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ x + 2 y - 2 x y - x 2 - 3 y 2 ∂ x , ∂ x + 2 y - 2 x y - x 2 - 3 y 2 ∂ y

∇ f = 1 - 2 y - 2 x , 2 - 2 x - 6 y

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 1 - 2 y - 2 x , 2 - 2 x - 6 y = 0,0

1 - 2 y - 2 x = 0

2 - 2 x - 6 y = 0 → 2 x = 2 - 6 y

Substituindo a segunda equação na primeira...

1 - 2 y - 2 x = 0 → 1 - 2 y - 2 - 6 y = 0

1 - 2 y - 2 + 6 y = 0

4 y = 1

y = 1 4

Dessa forma temos

2 x = 2 - 6 y → x = 1 - 3 y

x = 1 - 3 1 4

x = 1 4

Portanto temos apenas um ponto crítico P 1 = 1 4 , 1 4

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 1 - 2 y - 2 x ∂ x = - 2

f x y = ∂ 1 - 2 y - 2 x ∂ y = - 2

f y x = ∂ 2 - 2 x - 6 y ∂ x = - 2

f y y = ∂ 2 - 2 x - 6 y ∂ y = - 6

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = - 2 - 2 - 2 - 6

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P 1 , temos

H P 1 = - 2 - 2 - 2 - 6

D e t H P 1 = 8

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x < 0 podemos afirmar que P 1 é um ponto de máximo.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

P 1 = 1 4 , 1 4

H = - 2 - 2 - 2 - 6

P 1 é um ponto de máximo

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.28. z = x 4 + 1 4 y 5 + x + 1 3 y 3 + 15
Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.30. z = 4 x y - x 4 - 2 y 2
Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.32. z = y . cos ⁡ x
Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.4. z = x 2 + y 2
Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.3-z = x 4 -2 x 2 +y 2 -9