Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

Seja

f x , y = a x 2 + b x y - c y 2

Onde a , b , c são números reais. Se

b 2 + 4 a c < 0

c > 0

Então:

  1. 0,0 é um ponto de mínimo local
  2. 0,0 não é um ponto crítico
  3. 0,0 é um ponto de máximo local
  4. 0,0 é um ponto de sela
  5. Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de f :

f x , y = a x 2 + b x y - c y 2

f x = 2 a x + b y

f y = - 2 c y + b x

Agualando a zero para encontrar os pontos críticos:

2 a x + b y = 0

- 2 c y + b x = 0

Como a questão está falando do ponto ( 0,0 ) , vamos usá-lo.

Olhando para esse sistema, já conseguimos ver que ( 0,0 ) é um ponto crítico.

Show, então já eliminamos a letra b .

Passo 2

Vamos agora então classificar esse ponto.

Para usar o teste da derivada segunda, precisamos calcular as derivadas segundas. Vamos lá então:

f x = 2 a x + b y → f x x = 2 a

f y = - 2 c y + b x → f y y = - 2 c

f x y = f y x = b

Passo 3

Aplicando o teste da derivada segunda:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Substituindo nossos dados:

H 0,0 = f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0 = 2 a b b - 2 c

H 0,0 = 2 a . - 2 c - b 2 = - b 2 - 4 a c = - ( b 2 + 4 a c )

Esse termo que está entre parênteses, a questão diz pra gente que é menor que zero. Assim, como temos um sinal de menos na frente, nosso H 0,0 > 0 .

Sabemos então que ( 0,0 ) ou é ponto de máximo ou é ponto de mínimo.

Ai precisamos analisar o sinal de f x x .

f x x = 2 a

Sabemos que

b 2 + 4 a c < 0

c > 0

Como b 2 > 0 e c > 0 , para a expressão b 2 + 4 a c ser menor do que zero, isso só acontece se o a < 0 .

Então, sendo a < 0 , temo que

f x x = 2 a < 0

Assim, nosso ponto ( 0,0 ) é um ponto de máximo.

Resposta

L e t r a   c  

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