Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(e) f x , y = 2 x + 3 y .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = 2 x + 3 y

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ 2 x + 3 y ∂ x , ∂ 2 x + 3 y ∂ y

∇ f = 2 , 3

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 2,3 = 0,0

Perceba que 2,3 = 0,0 não é possivel, portanto podemos afirmar que não existe pontos críticos nessa função.

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 2 ∂ x = 0

f x y = ∂ 2 ∂ y = 0

f y x = ∂ 3 ∂ x = 0

f y y = ∂ 3 ∂ y = 0

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 0 0 0 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Não temos pontos críticos.

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