Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 5

Considere duas funções f ( x , y ) e g ( x , y ) continuamente diferenciáveis, definidas em todo o plano x y . Sabendo que o plano tangente ao gráfico de f em ( x 0 , y 0 ) só intercepta o gráfico de f no ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 e que intercepta o gráfico de g em um único ponto, que é mínimo global de g , indique a afirmatica correta:

a Não há informações suficientes para deduzirmos se ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico de f ou não.

b ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico de f que necessariamente é um ponto de sela.

c ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico de f que pode ser de máximo, de mínimo ou de sela.

d ( x 0 , y 0 ) não é um ponto crítico de f .

e ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico de f que necessariamente é um ponto de máximo ou de mínimo global.

Passo 1

Bem, o enunciado da questão está falando em função f e função g , mas as opções são todas sobre a questão f . Isso, num primeiro momento, cheira a “só quero confundir vocês”.

Mas aí, se a gente olhar as opções, elas são todas sobre será que o ponto de tangência é um ponto crítico ou não e, se for, qual tipo de ponto crítico será.

Aí, esse é o momento de: OPA, PERA LÁ! Em relação a função g , o enunciado disse que no único ponto que o plano toca o gráfico de g é justamente num ponto de mínimo global. Será que pra função f , sobre as quais a questão dá quase as mesmas informações que dá pra função g , isso seria tão diferente assim?

Acho que não né?!

Então, a opção que melhor se adequa a isso que conversamos é a opção que diz que o ponto de tangencia é um ponto crítico de f e que necessariamente é ponto de máximo ou de mínimo.

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Resposta

Letra e

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