Exercícios Resolvidos de Momento Magnético Dipolar

USP, Física 3, P2 - 2019, Questão Q3

Uma corrente estacionária I circula no sentido anti-horário de uma espira condutora quadrada, de lado a . A figura ao lado mostra a espira em um sistema de coordenadas tal que o plano da espira coincide com o plano x y   ( z   =   0 ) . Considere o campo magnético (no mesmo sistema de coordenadas)

B → x , y , z = B 0 1 - x a i ^ + 1 - y a j ^ + 2 z a k ^

  1. Calcule as forças magnéticas F → i ( i = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ) que atuam em cada um dos lados da espira (como indicados na figura). Calcule também a força resultante sobre a espira.
  2. Suponha que o movimento da espira seja restrito a rotações em torno de um eixo vertical fixo passando pelos pontos C D (veja a figura). Calcule o torque em torno deste eixo em relação à origem.

Sugestão para os itens ( a ) e ( b ) : Calcule primeiramente as forças infinitesimais d F i → e em seguida obtenha F i → , efetuando a integral correspondente.

Passo 1

a)Primeiro, vamos calcular o campo magnético em cada lado da espira:

B → 1 = B → x , a , z = B 0 1 - x a i ^

B → 2 = B → 0 , y , 0 = B 0 i ^ + 1 - y a j ^

B → 3 = B → x , 0,0 = B 0 1 - x a i ^ + j ^

B → 4 = B → a , y , 0 = B 0 1 - y a j ^

As forças magnéticas a gente calcula usando a equação

d F → i = I d L → i × B →

Sendo que d L 1 → = d L → 3 = ⅆ x i ^ e d L 2 → = d L → 4 = ⅆ y j ^ .

Para d F → 1 e d F → 4 , o produto vetorial na equação acima resulta em 0 , portanto

F → 1 = F → 4 = 0

Agora vamos calcular d F → 2 e d F → 3 substituindo os valores de d L → i e B → na equação

Para d F → 2 :

d F → 2 = I ( ⅆ y j ^ ) × B → 2

d F → 2 = I ( ⅆ y j ^ ) × B 0 i ^ + 1 - y a j ^  

d F → 2 = - I B 0 d y k ^

Integrando de y = a até y = 0 :

F → 2 = I a B 0 k ^

Agora para d F → 3 :

d F → 3 = I ( ⅆ x i ^ ) × B → 3

d F → 3 = I ( ⅆ x i ^ ) × B 0 1 - x a i ^ + j ^

d F → 3 = I B 0 d x k ^

Integrando de x = 0 até x = a :

F → 3 = I a B 0 k ^

Agora temos F → 1 , F → 2 , F → 3 e F → 4 , mas o enunciado nos pede também a força resultante F → . Ela vai ser dada por:

F → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4

F → = 2 I a B 0 k ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)O torque só vai ser calculado pra d F → 1 e d F → 4 vai ser zero, já que essas forças são nulas ok?

A força infinitesimal d F → 3 atua sobre um elemento de comprimento d x . O seu torque infinitesimal será dado por

d τ 3 → = r → × ⅆ F 3 →

d τ 3 → = x i ^ × ( I B 0 d x k ^ )

d τ 3 → = - I B 0 x d x j ^

Integrando de x = 0 até x = a :

τ 3 → = - a ² I B 0 2 j ^

Já para d F → 2 , como essa força atua sobre o eixo de rotação y , o torque será nulo.

Resposta

  1. F → 1 = F → 4 = 0 F → 2 = F → 3 = I a B 0 k ^ F → = 2 I a B 0 k ^
  2. τ 3 → = - a ² I B 0 2 j ^

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