Exercícios Resolvidos de Momento Magnético Dipolar

Usp - Física 3 – P2 2018.1 -2

Uma espira triangular, de base e altura a , contida no plano x y , é percorrida por uma corrente I no sentido horário, conforme a figura abaixo. Na região onde se encontra a espira, existe um campo magnético

B → y = C y   k ^   ,

onde C > 0 é uma constante.

  1. Calcule o vetor força magnética sobre os lados 1 e 2 da espira.
  2. Calcule o vetor força magnética sobre o lado 3 da espira.
  3. Determine o vetor momento de dipolo magnético e o vetor força resultante sobre a espira.

Passo 1

a) A fórmula geral para a força  F → exercida sobre um condutor fechado percorrido por uma corrente I na presença de um campo magnético  B → é dada por:

F → = ∮ C I     d l → × B →   .

Vamos aplicar essa expressão primeiro para o fio (1), que é paralelo ao eixo x . O vetor  d l → do condutor pode ser representado por:

d l → = d x   - x ^   .

Em toda a extensão do fio (1), o campo magnético tem o mesmo valor, já que sua intensidade depende apenas da distância y . Portanto, ao longo do fio (1), para o qual temos y = b , o campo magnético tem valor igual a   B → = B y = b k ^ = C b   k ^ .

Colocando  d l → B → na expressão para a força, teremos que a força  F → 1 sobre o fio (1) da espira será:

F → 1 = I ∫ d x - x ^ × C b   k ^ = - I C b   x ^ × k ^ ∫ 0 a d x ⇒ F → 1 = I C a b   y ^   ,

em que utilizamos   ( x ^   ×   k ^ ) = - y ^ e fizemos a integral.

Para o fio (2), temos o elemento infinitesimal do condutor escrito como:   d l → = d y ( + y ^ ) . Para o fio (2) da espira, o campo magnético tem valores diferentes em todos os pontos de seu comprimento. Por isso, a força   F → 2 sobre esse fio será:

F → 2 = I ∫ b a + b   d y + y ^   × C y   k ^ = I C y ^   ×   k ^ ∫ b a + b d y y   .

Como  ( y ^   ×   k ^ ) = x ^ , integramos a expressão e obtemos:

F → 2 = I C ln ⁡ a + b b   x ^   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Como o fio (3) está inclinado, o elemento de comprimento é   d l → = d x + x ^ + d y ( - y ^ ) e o campo magnético varia ao longo de todo o seu comprimento. Por isso, a força total sobre esse condutor será:

F → 3 = I ∫ [ d x + x ^ + d y - y ^   ×   C y   k ^   .    

Simplificando essa expressão, chegamos a:

F → 3 = I C   x ^   ×   k ^ ∫ d x y - y ^   ×   k ^ ∫ d y y   .

Agora aqui, vem um detalhe muito importante!! Você ficaria tentado a jogar o y para fora da primeira integral em d x acima. MAS CUIDADO!!! Nesse caso, d x   e d y estão relacionados um com o outro, ou seja, se d x varia, d y também varia!! Para entender como é a relação entre eles, olha o triângulo abaixo.

Desse triângulo, a gente tem o seguinte, olhando para a tangente de 45 ˚ :

tan ⁡ 45 ˚ = d x d y ⇒ d x = d y   ,

pois tan ⁡ 45 ˚ = 1 . Sacou a ideia?? Isso é o grande lance para matar esse item!!!

Colocando isso lá na integral de  F → 3 e lembrando também que   x   ^ ×   k ^ =   - y ^ e   y ^   ×   k ^ = + x ^ , a força total no condutor do fio (3) fica:

F → 3 = - I C x ^ + y ^ ∫ b a + b d y y   ⇒     F → 3 = - I C ln ⁡ a + b b   x ^ + y ^   .

Passo 3

c) A força resultante  F → R sobre a espira é a soma vetorial das forças que encontramos nos passos anteriores, ou seja,

F → R = F → 1 + F → 2 + F → 3

que vai resultar em

F → R = I C a b   y ^ + I C ln ⁡ a + b b   x ^   - I C ln ⁡ a + b b   x ^ + y ^

F → R = I C a b - ln ⁡ a + b b y ^

Continuando, o momento de dipolo magnético é dado por  μ → = I A → . Como a corrente I está no sentido horário, o vetor área  A → está orientado na direção e sentido - k ^ , ou seja, entrando no plano da página, o que podemos tirar da regra da mão direita.

Como a área A de um triângulo é dada por A = b a s e × a l t u r a 2 , temos que o vetor momento de dipolo magnético  μ → pode ser representado por:

μ → = I × a × a 2 - k ^ ⇒ μ → = I a 2 2 - k ^ .

Resposta

  1. F → 1 = I C a b   y ^   ;   F → 2 = I C ln ⁡ a + b b   x ^   ;  
  2. F → 3 = - I C ln ⁡ a + b b   x ^ + y ^   ;
  3. F → R = I C a b - ln ⁡ a + b b y ^   ;   μ → = I a 2 2 - k ^ .

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