Exercícios Resolvidos de Momento Magnético Dipolar

Ufpe - Física 3 – P2 2018.1 -3

Na figura abaixo, uma espira de corrente, que tem a forma de um triângulo equilátero de lado L , é percorrida por uma corrente elétrica I no sentido indicado. Um campo magnético uniforme B → = B i ^ , que ocupa todo o espaço, é aplicado ao longo do eixo x , como esquematicamente representado na figura. Considere que os vetores unitários ao longo dos eixos x , y e z , são respectivamente representados por   i ^ ,   j ^ e   k ^ . Nestas condições, calcule:

  1. O vetor momento de dipolo magnético   μ → da espira.
  2. O vetor torque   τ → que atua na espira.
  3. A diferença de energia potencial magnética Δ U = U f - U i , se a espira passar de sua posição inicial mostrada na figura acima (associada à U i ), para uma posição final (associada à U f ) em que seu momento de dipolo magnético for paralelo ao campo magnético aplicado   B → . Observação: adote o nível de energia potencial magnética nula como aquele em que o vetor momento de dipolo magnético   μ → é perpendicular ao vetor   B → .

Passo 1

a) Aqui, a primeira coisa que precisamos saber é que o momento de dipolo magnético associado a espira é dado por:

μ → = I   A →   ,

sendo que  A → é a área orientada da espira, que é sempre perpendicular à espira. A orientação desse vetor área é dado pela regra da mão direita. Nesta questão, como a corrente está no sentido anti-horário, se olhamos a espira por cima, pela regra da mão direita, o vetor área será

A → = A   k ^   ⇒ μ → = I A   k ^ .

Agora, então, a gente precisa encontrar a área do triângulo equilátero da figura abaixo.

A altura h desse triângulo pode ser obtida a partir do ângulo 60 ˚ , como:

sen ⁡ 60 ˚ = h L   ⇒ h = L sen ⁡ 60 ˚ = L 3 2   .

Portanto, módulo | A → | A → , serão:

A → = L h 2 = L 2 L 3 2 ⇒ A → = 3 L 2 4 k ^   .

Para fechar, o momento de dipolo magnético da espira fica:

μ → = I A → = 3 L 2 I 4 k ^   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Como o campo magnético é uniforme, o torque sobre a espira é:

τ → = μ →   ×   B → = 3 L 2 I 4   k ^   ×   B   i ^ = 3 L 2 I B 4   k ^   ×   i ^ .

Como o produto vetorial   k ^   ×   i ^ = j ^ , teremos:

τ → = 3 L 2 I B 4   j   ^   .

Passo 3

c) Se o ângulo entre   μ → e B → é θ , então a energia potencial magnética é dada por:

U = - μ → ⋅ B → = - μ → B → cos ⁡ θ   .

Na situação inicial, o momento de dipolo magnético é perpendicular ao campo magnético e, por isso, θ = 90 ˚ . Então, como cos ⁡ 90 ˚ = 0 , a energia potencial magnética inicial será:

U i = 0   .

Na configuração final,  μ → é paralelo a  B → , portanto, θ = 0 ˚ . Como cos ⁡ 0 ˚ = 1 , a energia magnética final será:

U f = - μ → B → cos ⁡ 0 ˚ ⇒ U f = - 3 L 2 I B 4   .

Com isso, a variação da energia potencial magnética é dada por:

Δ U = U f - U i = - 3 L 2 I B 4   .

Resposta

  1. μ → = I A → = 3 L 2 I 4 k ^   ;
  2. τ → = 3 L 2 I B 4   j ^   ;
  3. Δ U = U f - U i = - 3 L 2 I B 4     .

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