Exercícios Resolvidos de Momento Magnético Dipolar

Um fio, transportando uma corrente I , é dobrado de modo a formar uma espira semicircular de raio R , conforme a figura.

O fio está no plano x y e o vetor B → é dado por B → = B y ^ + z ^ .

a Calcule a força magnética que age sobre a parte reta do fio;

b Calcule a força magnética que age sobre a parte curva do fio;

c Calcule a força magnética total sobre a espira;

d Calcule o vetor momento de dipolo magnético da espira;

e Calcule o torque magnético sobre a espira;

Passo 1

a Calcule a força magnética que age sobre a parte reta do fio;

Vamos chamar de I a parte reta do fio e de I I a parte circular do fio. A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:

F B → = I L → × B →

Onde o vetor L → tem o módulo igual ao tamanho do fio e possui a mesma direção e sentido da corrente, logo:

L → = 2 R x ^

Assim, a força magnética será dada por:

F I → = i 2 R x ^ × B y ^ + z ^

F I → = 2 i R B - y ^ + z ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Calcule a força magnética que age sobre a parte curva do fio;

A força magnética que age sobre um fio com formato qualquer é dada por:

F B → = ∫ corpo   I   d l → × B →

Onde d l → é um vetor cujo módulo é igual a um tamanho infinitesimal do fio e tem a mesma direção e sentido da corrente em qualquer ponto (sempre tangencial ao fio). Opa, como ele é um pedaço infinitesimal do semicírculo, podemos dizer que o seu módulo vale:

d l = R d θ

Vamos posicionar o vetor d l → em alguns pontos para conseguirmos escrever uma expressão para ele.

Utilizando o ângulo θ , podemos escrever o vetor d l → como:

d l → = R d θ - sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^

Substituindo na expressão da força magnética, com θ variando entre 0   r a d e π   r a d , teremos:

F I I → = ∫ 0 π i R d θ - sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^ × B y ^ + z ^

F I I → = i R B ∫ 0 π cos ⁡ θ x ^ + sen ⁡ θ y ^ - sen ⁡ θ z ^ d θ

F I I → = i R B s en ⁡ θ x ^ - cos ⁡ θ y ^ + cos ⁡ θ z ^ 0 π

F I I → = i R B 2 y ^ - 2 z ^

F I I → = 2 i R B y ^ - z ^

Passo 3

c Calcule a força magnética total sobre a espira;

A força total na espira será a soma das forças sobre a parte reta e sobre a parte curva da espira, logo:

F → = F I → + F I I →

F → = 2 i R B - y ^ + z ^ + 2 i R B y ^ - z ^

F → = 0

Passo 4

d Calcule o vetor momento de dipolo magnético da espira;

O momento de dipolo magnético é dado por:

μ → = I A →

Onde a direção e sentido vetor área A → são determinados utilizando a regra da mão direita. Neste caso, como a corrente está no sentido anti-horário, o vetor área terá o sentido do vetor z ^ . Logo:

μ → = i π R 2 2 z ^

μ → = i π R 2 2 z ^

Passo 5

e Calcule o torque magnético sobre a espira;

O torque magnético é dado por:

τ → = μ → × B →

Logo:

τ → = i π R 2 2 z ^ × B y ^ + z ^

τ → = - i π R 2 B 2 x ^

Resposta

a

F I → = 2 i R B - y ^ + z ^

b

F I I → = 2 i R B y ^ - z ^

c

F → = 0

d

μ → = i π R 2 2 z ^

e

τ → = - i π R 2 B 2 x ^

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas