Exercícios Resolvidos de Momento Magnético Dipolar

Força e Torque sobre uma Espira

Um fio, transportando uma corrente I , é dobrado de modo a formar uma espira semicircular de raio R , conforme a figura. O fio está no plano x y e o vetor B → é dado por B → = B y ^ .

a ) Calcule a força magnética que age sobre a parte reta do fio;

b ) Calcule a força magnética que age sobre a parte curva do fio;

c ) Calcule a força magnética que age sobre a espira;

d ) Calcule o vetor momento de dipolo magnético da espira;

e ) Calcule o torque magnético sobre a espira;

Passo 1

a ) Calcule a força magnética que age sobre a parte reta do fio;

A força magnética sobre um condutor é dada por:

F → = ∫ corpo   I   d l → × B →

Onde d l → é um pedaço infinitesimal do condutor, cujo vetor tem a mesma direção e sentido da corrente.

No caso de um condutor retilíneo, podemos dar uma simplificada nesse cara, que passará a ser dado por:

F → = I L → × B →

Onde L → também tem a mesma direção e sentido da corrente.

Nesse caso:

L → = 2 R x ^

B → = B y ^

Portanto:

F → r = I 2 R x ^ × B y ^

F → r = 2 I R B x ^ × y ^

Finalmente:

F → r = 2 I R B   z ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Calcule a força magnética que age sobre a parte curva do fio;

Nesse caso, d l → será um pedaço infinitesimal da circunferência.

d l → = - d l sen ⁡ θ x ^ + d l cos ⁡ θ   y ^

Onde d l = R d θ , logo:

d l → = - sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ   y ^ R   d θ

Onde 0 < θ < π . Assim, substituindo esses dados na expressão de F → , teremos:

F → c = ∫ 0 π I - sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ   y ^ × B y ^ R   d θ

F → c = - ∫ 0 π I B sen ⁡ θ R   d θ   z ^

F → c = - I R B ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ   z ^

F → c = - I R B - cos ⁡ θ 0 π   z ^

F → c = - 2 I R B   z ^

Passo 3

c ) Calcule a força magnética que age sobre a espira;

A força magnética sobre a espira será a soma das forças magnéticas sobre o segmento retilíneo e o segmento curvo.

F → = F → r + F → c

F → = 2 I R B   z ^ - 2 I R B   z ^

F → = 0 →

Passo 4

d ) Calcule o vetor momento de dipolo magnético da espira;

Por definição, o momento de dipolo magnético é dado por:

μ → = I A →

Onde A → tem módulo igual à área da espira. A direção e o sentido são determinados com a regra da mão direita, usando o sentido da corrente na espira como base.

Nesse caso, como a corrente está no sentido anti-horário:

A → = π R 2 2 z ^

Portanto:

μ → = I π R 2 2 z ^

Passo 5

e ) Calcule o torque magnético sobre a espira;

O torque magnético sobre uma espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Substituindo μ → e B → , teremos:

τ → = I π R 2 2 z ^ × B y ^

τ → = I B π R 2 2 z ^ × y ^

Finalmente:

τ → = - I B π R 2 2 x ^

Resposta

a )

F → = 2 I R B   z ^

b )

F → = - 2 I R B   z ^

c )

F → = 0 →

d )

μ → = I π R 2 2 z ^

e )

τ → = - I B π R 2 2 x ^

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