Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2014.1, Questão 2

Um barbante é enrolado ao redor de um círculo, e então desenrolado sendo mantido esticado. A curva formada pelo ponto P , no final do barbante, é chamada de involuta do círculo. Suponha que o círculo tem raio r e centro O , e que a posição final de P seja r , 0 . Se o parâmetro for escolhido como na figura, encontre as equações paramétrias da involuta.

Passo 1

Para descobrirmos a parametrização da involuta, temos que achar o vetor posição O P → θ do ponto P .

Podemos pensar esse vetor O P → θ como a soma dos vetores O T → θ e T P → θ :

O P → θ = O T → θ + T P → θ

Veja na figura a seguir:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que:

O T → θ = ( r c o s θ , r s e n θ )

Pois o ponto T pertence a circunferência, logo utilizamos a parametrização da circunferência para O T → .

Perceba também que T P → θ é igual ao comprimento do arco de circunferência localizado entre T e o eixo x , logo:

T P → θ = r θ (comprimento do arco T O P )

Passo 3

Beleza, agora podemos achar também um vetor tangente ao vetor O T → θ :

O T ' → θ = ( - r s e n θ , r c o s θ )

Esse vetor é paralelo ao vetor T P → θ , mas está no sentido oposto a ele. Vamos utilizar essas informações por partes.

Como O T ' → θ está no sentido oposto de e T P → θ , devemos inverter o sentido de O T ' → θ :

O T ' → θ = ( - r s e n θ , r c o s θ )

O T ' → θ = ( + r s e n θ , - r c o s θ ) (sentido invertido)

Como já sabemos que O T ' → θ é paralelo a T P → θ e a informação que temos sobre T P → θ é a respeito de seu comprimento, vamos achar o comprimento de O T ' → θ :

O T ' → θ = r s e n θ 2 + - r c o s θ 2 = r 2 s e n 2 θ + c o s 2 θ = r 2 = r (porque a ≥ 0 )

Opa, o comprimento de O T ' → θ e T P → θ diferem por um fator multiplicativo θ . Então, para O T ' → θ e T P → θ virarem o mesmo vetor, temos que multiplicar O T ' → θ por θ (para que os comprimentos dos dois vetores fiquem iguais, agora que eles já tem o mesmo sentido):

O T ' → θ . θ = θ + r s e n θ , - r c o s θ = T P → θ

Passo 4

Agora, como sabemos que

O P → θ = O T → θ + T P → θ

Substituindo os resultados encontrados, temos:

O P → θ = r c o s θ , r s e n θ + θ + r s e n θ , - r c o s θ

O P → ( θ ) = ( r cos ⁡ θ + θ s e n θ , r ( s e n θ - θ cos ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0,2 π ]

Resposta

O P → ( θ ) = ( r cos ⁡ θ + θ s e n θ , r ( s e n θ - θ cos ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0,2 π ]

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