Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

(Cap. 13.2 - Ex. 27) Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x 2 + y 2 = 25 e y 2 + z 2 = 20 no ponto ( 3,4 , 2 ) .

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra resolver mais uma questãozinha? Bora lá então!

O objetivo desse exercício aqui, é encontrar uma equação para a reta tangente, à uma curva de intersecção que será formada entre dois cilindros. Tá, mas o que isso significa?

Quando dois cilindros se cruzarem, teremos a formação de dois círculos:

A reta que procuramos, será tangente à essa intersecção mostrada na figura acima.

Bom, agora que a gente sabe o que queremos, como se trata de uma reta tangente à uma curva formada entre os dois cilindros, vamos começar parametrizando essa curva da interseção, e vamos chamar ela de C .

A projeção de C no plano x y vai estar contida no círculo:

x 2 + y 2 = 25

E nesse momento temos:

z = 0

Precisamos lembrar que, como temos um círculo, a gente pode parametrizar a partir da função seno e cosseno, o que vai facilitar um pouco a nossa vida! Vamos ficar com:

x = 5   c o s   t

y = 5   s e n   t

Tranquilo? Vamos continuar!

Passo 2

Bom, mas o outro cilindro também está contido, né? Então agora é a vez dele!

y 2 + z 2 = 20

E nesse caso, próximo do ponto dado, a gente pode ver que:

z   ≥   0

E por que isso é importante? Porque a partir disso, a gente pode fazer o seguinte:

z = 20 - y 2

E como o y   a gente já descobriu no passo 1, vamos substituir ele na equação acima:

z = 20 - 5   s e n   t 2  

z = 20 - 25 .   s e n 2   t  

Passo 3

Beleza! Com essas informações, podemos formar a equação vetorial para a nossa intersecção, C !! Vale lembrar que essa equação será formada por: r t = 〈 x ,   y ,   z 〉 .

Como os valores de x ,   y e z foram encontrados nos passos anteriores, basta escrevermos ela aqui:

r t = 〈 5 c o s c o s   t   ,   ( 5 s i n s i n   t   )   , 20 - 25 .   s e n 2 t   〉

Passo 4

Agora, a gente precisa fazer a derivada da nossa equação, para poder utilizá-la na fórmula da equação paramétrica que relaciona um ponto dado, com a derivada da equação vetorial: γ t = P + r ' ( t ) .

Então, fazendo a derivada, vamos ter que:

r ' ( t ) = 〈 - 5   s e n   t   ,   5   c o s   t   ,   1 2 20 - 25   s e n 2 t   - 1 / 2 . - 50   s e n   t   c o s   t   〉

Ficou meio estranha, né? Mas não se assusta não! Vamos continuar!

Passo 5

Agora, a gente vai fazer uma relação entre o ponto que foi dado no enunciado, com as equações dadas de x ,   y   e z . E por que isso? Essa relação vai servir pra gente determinar o tempo t para que a curva esteja no ponto P ( 3 ,   4 ,   2 ) .

A relação será a seguinte:

{ x t = 5 c o s c o s   t   = 3   y t = 5 s i n s i n   t   = 4   z t = 20 - 25 .   s e n 2 t   = 2  

A partir da relação acima, vemos que o ponto corresponde a t = c o s - 1 3 5 , então o vetor tangente é:

r ' c o s - 1 3 5 = 〈 - 5   s e n c o s - 1 3 5 ; 5   c o s c o s - 1 3 5 ; 1 2 20 - 25 s e n 2 c o s - 1 3 5 - 1 / 2

. - 50 .   s e n c o s - 1 3 5 .   c o s c o s - 1 3 5   〉

r ' c o s - 1 3 5   = 〈 - 5 ⋅ 4 5   ;   5 ⋅ 3 5   ;   1 2 20 - 25 4 5 2 - 1 2 - 50 4 5 3 5 〉

r ' c o s - 1 3 5  

r ' = 〈 - 4 ,   3 ,   - 6 〉

Opa! Estamos quase lá! Sendo a linha tangente paralela a esse vetor e passando através do ponto P ( 3,4 , 2 ) , então a nossa equação vetorial para a linha será:

r t = 3 - 4 t i ^ + 4 + 3 t j ^ + 2 - 6 t k ^

Show de bola, pessoal! Conseguimos!

Pra essa questão era isso! Bora pra mais uma?

Resposta

r t = 3 - 4 t i ^ + 4 + 3 t j ^ + 2 - 6 t k ^

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