Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Esboce a trajetória das curvas espaciais abaixo.

α ( t )   =   t   î + t   ĵ +   1 t k   ,   t   >   0 β ( t ) = t î + t   ĵ + ( 1 + s i n   t ) k γ ( t ) = ( 1 + s i n   t )   î + ( 1 + s i n   t )   ĵ + t   k

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que esboçar a trajetória das seguintes curvas espaciais:

α ( t )   =   t   î + t   ĵ +   1 t k   ,   t   >   0 β ( t ) = t î + t   ĵ + ( 1 + s i n   t ) k γ ( t ) = ( 1 + s i n   t )   î + ( 1 + s i n   t )   ĵ + t   k  

Para isso temos que avaliar os valores de x, y e z para diferentes valores de t. Então vamos lá!

Passo 2

Vamos lembrar que uma curva parametrizada em termos de uma variável, possui o seguinte formato:

α ( t ) = x ( t ) î + y ( t )   ĵ + z ( t )   k

Sabendo disso, nós conseguimos identificar x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) das curvas apresentadas no enunciado, e então avaliar os seus valores para diferentes valores de t e assim esboçar o gráfico.

Passo 3

Olhando para a curva α ( t )   =   t   î + t   ĵ +   1 t k   ,   t   >   0 , temos que:

x ( t ) = t , y ( t ) = t e z ( t ) = 1 t

Agora podemos construir uma tabela que contenha os valores de x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) para diferentes valores de t :

Com essas informações conseguimos esboçar o gráfico:

Passo 4

Olhando para a curva β ( t ) = t î + t �� ĵ + ( 1 + s i n   t ) k , temos que:

x ( t ) = t , y ( t ) = t e z ( t ) = 1 +   s i n   t

Agora podemos construir uma tabela que contenha os valores de x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) para diferentes valores de t , como temos funções trigonométricas vamos escolher valores de t que são frações de π :

Com essas informações conseguimos esboçar o gráfico:

Passo 5

Olhando para a curva γ ( t ) = ( 1 + s i n   t )   î + ( 1 + s i n   t )   ĵ + t   k   , temos que:

x ( t ) = 1 +   s i n   t , y ( t ) = 1 +   s i n   t e z ( t ) =   t

Agora podemos construir uma tabela que contenha os valores de x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) para diferentes valores de t , como temos funções trigonométricas vamos escolher valores de t que são frações de π :

Com essas informações conseguimos esboçar o gráfico:

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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