Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Sendo o vetor   ⃗ η   =   ( 2 ,   1 ,   − 1 ) um vetor normal ao plano π que passa pelo ponto A   = ( 1 ,   2 ,   2 ) Σ , escrever as equações paramétricas de π .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente determinar as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto (1, 2, 2) e que possua um vetor normal com componentes (2, 1, -1). Podemos sempre escrever a equação do plano como

a ( x - x 0 ) + b ( y - y 0 ) + c ( z - z 0 ) = 0

Onde o ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 pertence ao plano. No nosso caso, como queremos que o ponto (1, 2, 2) pertença ao plano, podemos fazer x 0 ,   y 0 ,   z 0 = ( 1 ,   2 ,   2 ) . Ou seja, podemos escrever a equação no forma

a ( x - 1 ) + b ( y - 2 ) + c ( z - 2 ) = 0

Dessa equação, vemos que o ponto (1, 2, 2) satisfaz a expressão acima e, portanto, o ponto pertence ao plano. Agora, precisamos calcular os valores das constantes a, b e c tal que o plano seja perpendicular ao vetor (2, 1, -1). Então bora lá!

Passo 2

Podemos reescrever a equação do plano como:

a ( x - 1 ) + b ( y - 2 ) + c ( z - 2 ) = a x + b y + c z - ( a + 2 b + 2 c ) = 0

Ou seja, o plano π é paralelo ao plano P’ com equação a x + b y + c z = 0 , com vetor normal dado pelas componentes (a,b,c), apenas deslocado de uma constante - ( a + 2 b + 2 c ) . Então, esses planos são paralelos. Logo, como queremos que todos os pontos sobre o plano P’ sejam ortogonais ao vetor (2,1,-1), temos que o produto escalar desse vetor com um vetor (x, y, z) arbitrário contido no plano deve ser nulo:

( a , b , c ) ⋅ ( x , y , z ) = 0 ⇒ ( 2,1 , - 1 ) ⋅ ( x , y , z ) = 0   ⇒   2 x + y - z = 0

Como esse plano é paralelo ao plano π que procuramos, temos que os coeficientes a, b e c são os mesmos. Então, podemos escrever a equação do plano π como

π :   2 ( x - 1 ) + 1 ( y - 2 ) - 1 ( z - 2 ) = 0

Como o plano π é paralelo ao plano P’ (apenas deslocado pelo vetor (1, 2, 2)) com equação   2 x + y - z = 0 , cujos vetores contidos podem ser escritos na forma

( x ,   y ,   z = 2 x + y ) = x ( 1,0 , 2 ) + y ( 0,1 , 1 )

temos que a equação paramétrica do plano π é

π :   ( 1,2 , 2 ) + x ( 1,0 , 2 ) + y ( 0,1 , 1 )

Resposta

π :   ( 1,2 , 2 ) + x ( 1,0 , 2 ) + y ( 0,1 , 1 )

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