Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

O plano π 1 contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), o plano π 2 contém Q =

(−1, −1, 0) e é paralelo a ⃗u = (0, 1, −1) e ⃗v = (1, 0, 1), e o plano π 3 tem equação X = (1, 1, 1) +

λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R.

(a) Obtenha uma equação geral para cada um dos três planos.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para determinar as equações gerais dos três planos π 1 , π 2   e   π 3   . A equação geral de um plano é uma equação da forma

a x + b y + c z + d = 0

Para os planos π 2 e π 3 , temos que as equações paramétricas foram praticamente dadas: o plano π 2 é paralelo aos vetores u e v, e, portanto, os tem como seus vetores geradores e está deslocado da origem pelo vetor (-1, -1, 0). Então, a equação paramétrica desse plano é dada por

π 2 :   ( - 1 , - 1,0 ) + λ ( 0,1 , - 1 ) + μ ( 1,0 , 1 )

E a equação do plano π 3 já nos foi dada de cara:

π 3 :   ( 1 ,   1 ,   1 )   + λ ( − 2 ,   1 ,   0 )   +   µ ( 1 ,   0 ,   1 )

Então, agora, falta determinar a equação paramétrica de π 1 . Como esse plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), podemos escrever sua equação na forma:

π 1 :   ( 0,0 , 1 ) + λ ( 0,1 , - 1 ) + μ ( 1,0 , - 1 )

Pois quando λ = μ = 0 , temos o ponto C, quando λ = 1   e   μ = 0 temos o ponto B e, quando λ = 0   e   μ = 1 , temos o ponto A. Agora que já temos as equações na forma paramétrica, só precisamos escrevê-las na forma da equação geral de um plano. Então bora lá!

Passo 2

Vamos começar com o plano π 1 . Dada sua equação paramétrica, π 1 :   ( 0,0 , 1 ) + λ ( 0,1 , - 1 ) + μ ( 1,0 , - 1 ) , temos que todos os pontos contidos no plano são da forma

( x , y , z ) = ( μ , λ , 1 - λ - μ )

Portanto, podemos definir x = μ , y = λ e z = 1 - x - y . Portanto, a equação do plano na forma geral é dada por

z = 1 - x - y       ⇒       z + x + y - 1 = 0

Para o plano π 2 temos a equação paramétrica π 2 :   ( - 1 , - 1,0 ) + λ ( 0,1 , - 1 ) + μ ( 1,0 , 1 ) . Portanto, todos os pontos contidos no plano são da forma

( x , y , z ) = ( - 1 + μ ,   - 1 + λ ,   - λ + μ )

Se definirmos x = - 1 + μ , y = - 1 + λ , então temos que

x - y = - 1 + μ - ( - 1 + λ ) = - λ + μ

Portanto, podemos escrever a componente z como z = x - y . Então, a equação geral do plano π 2 é dada por

z = x - y       ⇒   x - y - z = 0

Por último, para o plano π 3 temos a equação paramétrica ( 1 ,   1 ,   1 )   + λ ( − 2 ,   1 ,   0 )   +   µ ( 1 ,   0 ,   1 )

Então, todos os pontos contidos nesse plano são da forma

( x , y , z ) = ( 1 - 2 λ + μ ,   1 + λ ,   1 + μ )

Se definirmos y = 1 + λ e z = 1 + μ temos que

- 2 y + z = - 2 - 2 λ + 1 + μ = - 1 - 2 λ + μ

Então, podemos escrever a componente x como x = - 2 y + z + 2 . Portanto, temos que a equação do plano é dada por

z - 2 y - x + 2 = 0

Resposta

π 1 :   z + x + y - 1 = 0

π 2 :   x - y - z = 0

π 3 :   z - 2 y - x + 2 = 0

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