Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva γ   :   [ a ,   b ]   →   R ²

onde 0   <   b   −   a   ≤   2 π   da forma

γ ( θ )   =   ( x ( θ ) ,   y ( θ ) )   =   ( r ( θ )   c o s   θ ,   r ( θ )   s i n   θ ) .

Note que

Assim o comprimento do arco L da curva γ é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva r ( θ )   =   1   +   s i n   θ   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   2 π

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 2!!! Queremos encontrar o comprimento de arco quando da curva r ( θ )   =   1   +   s i n   θ   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   2 π

Para isso, vamo usar a fórmula

Vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos começar calculando d r d θ . Como a nossa curva é dada por

r ( θ )   =   1   +   s i n   θ   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   2 π

Temos que

d r d θ = c o s ( θ )

Logo, o comprimento é dado por:

L = ∫ 0 2 π ( 1 + s i n ( θ ) ) ² + c o s ² ( θ ) d θ

= ∫ 0 2 π 2 + 2 s i n ( θ ) d θ

vamos começar fazendo nossas manipulações. Como s i n ( θ ) = c o s ( π / 2 - θ ) . Então

= ∫ 0 2 π 2 + 2 c o s ( π / 2 - θ ) d θ

Usando a identidade do arco metade c o s ( θ ) = 2 c o s ² ( θ / 2 ) - 1 , então

= ∫ 0 2 π 2 + 4 c o s ² ( π / 4 - θ / 2 ) - 2 d θ

= ∫ 0 2 π 2 | c o s ( π / 4 - θ / 2 ) | d θ

= ∫ - π / 2 π / 2 2 c o s ( π / 4 - θ / 2 ) d θ - ∫ π / 2 - π / 2 2 c o s ( π / 4 - θ / 2 ) d θ

Integrando, temos

= 4 s i n ( π / 4 - θ / 2 ) | θ = π / 2 θ = - π / 2 - 4 s i n ( π / 4 - θ / 2 ) | θ = - π / 2 θ = π / 2

= 4 + 4

= 8

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

8

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