Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva γ   :   [ a ,   b ]   →   R ²

onde 0   <   b   −   a   ≤   2 π   da forma

γ ( θ )   =   ( x ( θ ) ,   y ( θ ) )   =   ( r ( θ )   c o s   θ ,   r ( θ )   s i n   θ ) .

Note que

Assim o comprimento do arco L da curva γ é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva r ( θ )   = θ ²   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   2 π

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 2!!! Queremos encontrar o comprimento de arco quando da curva r ( θ )   = θ ²   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   2 π

Para isso, vamo usar a fórmula

Vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos começar calculando d r d θ . Como a nossa curva é dada por

r ( θ )   = θ ²   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   2 π

Temos que

d r d θ = r ( θ )   = 2 θ

Logo, o comprimento é dado por:

L = ∫ 0 2 π θ ² + 4 θ ² d θ

= ∫ 0 2 π 5 θ d θ

Integrando

= 5 θ ² / 2 | θ = 2 π θ = 0

Aplicando os limites de integração

= 2 5 π ²

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

2 5 π ²

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