Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Obtenha equações do lugar geométrico (ou seja, para o conjunto) dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em π 1 e outra em π 2 e descreva-o geometricamente.

(a) π 1 : 2 x - 3 y + 3 z - 4 = 0 e π 2 : x + y - z + 2 = 0

Passo 1

(a) Bom pessoal, o que a gente pode dizer sobre um ponto que está no plano π 2 ?

Com certeza ele satisfaz essa relação aqui

x + y - z + 2 = 0

Vamos usar essa equação para parametrizar o plano:

x + y - z + 2 = 0         ⇒           x = x 2 y = y 2 z = x 2 + y 2 + 2

Ou seja, esses pontos obedecem essa forma geral aqui:

P 2 = x 2 ,   y 2 ,   x 2 + y 2 + 2

Separando as constantes e as variáveis:

P 2 = 0,0 , 2 + x 2 1,0 , 1 + y 2 0,1 , 1

E agora vamos fazer a mesma coisa para o plano π 1 :

2 x - 3 y + 3 z - 4 = 0           ⇒           x = x 1 y = y 1 z = 1 3 4 + 3 y 1 - 2 x 1

Então os pontos do plano π 1 são:

P 1 = x 1   ,   y 1   , 1 3 4 + 3 y 1 - 2 x 1

P 1 = 0 ,   0 , 4 3 + x 1 1,0 , - 2 3 + y 1 0,1 , 1

Ok, vamos em frente.

Passo 2

Se um segmento A B - começa em um ponto P 1 e vai até um ponto P 2 . Qual é a sua forma geral?

A B - = P 2 - P 1

A B - = 0,0 , 2 + x 2 1,0 , 1 + y 2 0,1 , 1 - 0 ,   0 , 4 3 - x 1 1,0 , - 2 3 - y 1 0,1 , 1

As constantes y 1 e y 2 estão multiplicando o mesmo vetor:

A B - = 0,0 , 2 + x 2 1,0 , 1 + y 2 - y 1 0,1 , 1 - 0 ,   0 , 4 3 - x 1 1,0 , - 2 3

Então podemos tratar y 2 - y 1 como se fossem uma única constante. Podemos chamar de t , por exemplo:

A B - = 0,0 , 2 + x 2 1,0 , 1 + t 0,1 , 1 - 0 ,   0 , 4 3 - x 1 1,0 , - 2 3

E podemos também somar os dois pontos:

A B - = 0,0 , 2 3 + x 2 1,0 , 1 + t 0,1 , 1 - x 1 1,0 , - 2 3

Então esses são os segmentos que começam em π 1 e terminam em π 2 . O que essa fórmula diz pra gente?

Passo 3

Bom, a fórmula diz que qualquer segmento que começa em π 1 e termina em π 2 tem essa forma geral:

A B - = 0,0 , 2 3 + x 2 1,0 , 1 + t 0,1 , 1 - x 1 1,0 , - 2 3

Ou seja, é formada por uma combinação linear desses três vetores:

v → 1 = 1,0 , 1

v → 2 = 0,1 , 1

v → 3 = 1,0 , - 2 3

Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, ou se podemos escrever um deles em função dos outros dois (nesse caso seriam linearmente dependentes).

Lembra como verificar isso?

c 1 v → 1 + c 2 v → 2 + c 3 v → 3 = 0

Os vetores são LI se a única solução dessa equação aí de cima for c 1 = c 2 = c 3 = 0 :

c 1 1,0 , 1 + c 2 0,1 , 1 + c 3 1,0 , - 2 3 = 0

Somando tudo:

c 1 + c 3   ,     c 2   ,     c 1 + c 2 - 2 3 c 3 = 0

E isso dá um sistema de três equações:

c 1 + c 3 = 0 c 2 = 0 c 1 + c 2 - 2 3 c 3 = 0

Vamos substituir a segunda equação na terceira, e então ficamos só com duas:

c 1 + c 3 = 0 c 1 - 2 3 c 3 = 0

E agora subtraindo a segunda da primeira:

c 1 + c 3 - c 1 - 2 3 c 3 = 0

5 3 c 3 = 0         ⇒           c 3 = 0

E substituindo isso na primeira equação:

c 1 + c 3 = 0

c 1 = 0

Beleza, então a única solução realmente é c ! = c 2 = c 3 = 0 , e os nossos vetores são linearmente independentes!

Passo 4

Ok, mas ainda não acabou. O que isso diz sobre os nossos segmentos A B - :

A B - = 0,0 , 2 3 + x 2 1,0 , 1 + t 0,1 , 1 - x 1 1,0 , - 2 3

Bom, se eles são formados por qualquer combinação linear de três vetores linearmente independentes, a gente sabe que eles “geram” o espaço inteiro.

Ou seja, qualquer segmento do espaço pode ser escrito na forma A B - .

Mas o que o enunciado pediu foram os pontos médios desses segmentos. Só que não faz diferença:

P = 1 2 A B - = 0,0 , 1 3 + 1 2 x 2 1,0 , 1 + 1 2 t 0,1 , 1 - 1 2 x 1 1,0 , - 2 3

O conjunto continua linearmente independente, e o lugar geométrico gerado pelos pontos é o espaço E 3 inteiro.

Resposta

O lugar geométrico gerado pelos pontos é E 3 .

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