Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:

r :   x =   m y - 1 ;   z   =   y - 1 , s :   x = y m = z , t :   − x   +   z   =   y   =   − z   −   1 ,

encontrar os valores de m ∈ R de modo que:

d) as retas r e s sejam reversas.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para determinarmos os valores de m tal que as retas r e s sejam reversas. ou seja, que as retas r e s não tenham interseção entre si e não sejam paralelas. Bem, do enunciado, temos que todos os pontos (x,y,z) contidos na reta r são da forma

( x , y , z ) = ( m y - 1 ,   y ,   y - 1 ) = y ( m , 1,1 ) + ( - 1,0 , - 1 )

Por outro lado, os pontos (x,y,z) contidos na reta s, são da forma

( x , y , z ) = t 1 m ,   1 ,   1 m + ( 0,0 , 0 )

Portanto, para que as retas não sejam paralelas, precisamos que seus vetores diretores, independentemente do vetor deslocamento, não sejam paralelos entre si: ou seja, as componentes dos vetores que dão as direções das retas não devem ser múltiplos, com o mesmo fator. Além disso, se igualarmos as componentes x, y e z dos pontos de cada uma das curvas, não podemos ter solução para o sistema de equações, já que queremos que as retas nunca se cruzem. Então bora lá checar essas condições!

Passo 2

Como as componentes dos vetores diretores não devem ser múltiplos, da componente y, temos

1 ≠ k

Onde k é o fator multiplicativo para o paralelismo entre os vetores. Da componente z, temos que

m = k ≠ 1

Portanto, temos que para não serem paralelas, m deve ser diferente de 1. Assim, podemos escolher qualquer valor que não seja 1. Escolhemos 2, então. Agora, para que as retas não sejam concorrentes, vamos resolver as equações para m = 2 e ver se o sistema possui solução.

2 y - 1 = 1 2

y = t

y - 1 = t 2

Da primeira equação, temos que y é igual à 3 4 . Então, da segunda equação temos que t também deve ser igual à 3 4 . No entanto, quando substituímos o valor de y na última equação, obtemos que t = - 1 2 . Portanto, temos que o sistema de equações não possui solução e, portanto, não existe um ponto onde as retas se encontram, como gostaríamos. Então, temos que as retas dadas por

r :   x =   2 y - 1 ;   z   =   y - 1

s :   x = y 2 = z

São reversas, pois não são paralelas mas nunca se encontram.

Resposta

m ≠ 1

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