Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.13. questão 6.

A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando o mesmo, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo (figura). Supondo que o centro do carretel está colocado na origem do plano x y e seu raio é a , e que o fio começa a se desenrolar no ponto A = ( a , 0 ) . Mostre que as equações paramétricas da Involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:

x θ = a ( cos ⁡ θ + θ s e n θ ) e y θ = a ( s e n θ - θ cos ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0,2 π ]

Utilizando como parâmetro o ângulo A O T mostrado na figura.

Passo 1

Para descobrirmos a parametrização da involuta, temos que achar o vetor posição O P → θ do ponto P .

Podemos pensar esse vetor O P → θ como a soma dos vetores O T → θ e T P → θ :

O P → θ = O T → θ + T P → θ

Sabemos que:

O T → θ = ( a c o s θ , a s e n θ )

Repare que T P → nada mais é que o arco T O A esticado, então:

T P → θ = a θ (comprimento do arco T O A )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora podemos achar também um vetor tangente ao vetor O T → θ :

O T ' → θ = ( - a s e n θ , a c o s θ )

Esse vetor é paralelo ao vetor T P → θ , mas está no sentido oposto a ele. Vamos utilizar essas informações por partes.

Como O T ' → θ está no sentido oposto de e T P → θ , devemos inverter o sentido de O T ' → θ :

O T ' → θ = ( - a s e n θ , a c o s θ )

O T ' → θ = ( + a s e n θ , - a c o s θ ) (sentido invertido)

Como já sabemos que O T ' → θ é paralelo a T P → θ e a informação que temos sobre T P → θ é a respeito de seu comprimento, vamos achar o comprimento de O T ' → θ :

O T ' → θ = a s e n θ 2 + - a c o s θ 2 = a 2 s e n 2 θ + c o s 2 θ = a 2 = a (porque a ≥ 0 )

Opa, o comprimento de O T ' → θ e T P → θ diferem por um fator multiplicativo θ . Então, para O T ' → θ e T P → θ virarem o mesmo vetor, temos que multiplicar O T ' → θ por θ (para que os comprimentos dos dois vetores fiquem iguais, agora que eles já tem o mesmo sentido):

O T ' → θ . θ = θ + a s e n θ , - a c o s θ = T P → θ

Passo 3

Agora, como sabemos que

O P → θ = O T → θ + T P → θ

Substituindo os resultados encontrados, temos:

O P → θ = a c o s θ , a s e n θ + θ + a s e n θ , - a c o s θ

O P → ( θ ) = ( a cos ⁡ θ + θ s e n θ , a ( s e n θ - θ cos ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0,2 π ]

Resposta

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