Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;
  2. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1   e   y = 3 ;
  3. S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;
  4. S é a parte parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1   e   x 2 + y 2 = 4 ;
  5. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  6. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano x z com centro ( b , 0,0 ) e raio a < b em torno do eixo z ;
  8. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   com z ≥ x 2 + y 2 3 ;
  9. S é a parte do parabolóide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 ;

Passo 1

O foferas, bora resolver essas comigo?

Vamos calcular a área da superfície S   novamente e chegar à resposta correta.

A superfície S   é definida como a parte da esfera ( x 2 +   y 2 +   z 2 =   4 ) que está no interior do cone z ≥ x 2 +   y 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície usando coordenadas esféricas:

[ x   =   r   ⋅ s i n   ϕ ⋅ c o s   θ ]

[ y   =   r   ⋅ s i n   ϕ ⋅ s i n   θ ]

[ z   =   r   ⋅ c o s   ϕ ]

Onde   r varia de 0 a 2, θ varia de 0 a 2 π e ϕ varia de 0 a π / 4 .

Passo 2

Agora, vamos calcular a área usando a fórmula da área de uma superfície paramétrica:

[ A   =   ∬ S ∂ x , y ∂ θ ,   ϕ 2 + ∂ y , z ∂ θ ,   ϕ 2 + ∂ z , x ∂ θ ,   ϕ 2 d θ   d ϕ ]

Calculando as derivadas parciais das coordenadas paramétricas:

∂ x , y ∂ θ ,   ϕ = r 2 sin ⁡ ϕ

∂ y , z ∂ θ ,   ϕ = r 2 cos ⁡ ϕ

∂ z , x ∂ θ ,   ϕ = - r 2 sin ⁡ ϕ

Passo 3

Substituindo essas derivadas parciais na fórmula da área:

A   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 r 2 s i n   ϕ 2 +   r 2 c o s   ϕ 2 +   - r 2 s i n   ϕ 2 d ϕ   d θ ]

A   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 r 2 s i n   ϕ 2 +   c o s   ϕ 2 +   s i n   ϕ 2 d ϕ   d θ ]

A   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 r 2 2 sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ d ϕ   d θ ]

Agora, podemos calcular a integral interna:

∫ 0 π 4 r 2 2 sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = r 2 ∫ 0 π 4 2 sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

Passo 4

A integral que precisamos calcular é a seguinte:

A   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 r 2 2 sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ d ϕ   d θ ]

Lembrando que r = 2 para esta superfície.

Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a ϕ :

∫ 0 π 4 r 2 2 sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = r 2 ∫ 0 π 4 2 sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

Peço desculpas pelas confusões anteriores. Vamos refazer o cálculo corretamente.

Passo 5

A integral que precisamos calcular é a seguinte:

∫ 0 π 4 r 2 2   s i n 2 ϕ +   c o s 2 ϕ , d ϕ

=   2 2 ∫ 0 π 4 2   s i n 2 ϕ +   c o s 2 ϕ , d ϕ

=   4   ∫ 0 π 4 s i n 2 ϕ +   s i n 2 ϕ +   c o s 2 ϕ d ϕ

=   4   ∫ 0 π 4 2   s i n 2 ϕ +   1 d ϕ

=   4   ∫ 0 π 4 2   +   2 s i n 2 �� d ϕ

=   4   ∫ 0 π 4 2 1   +   s i n 2 ϕ d ϕ

=   4   ∫ 0 π 4 2 1   +   s i n 2 ϕ d ϕ

=   4 2 ∫ 0 π 4 c o s 2 ϕ +   s i n 2 ϕ d ϕ

=   4 2 ∫ 0 π 4 1 d ϕ

=   4 2 ⋅ π 4

=   2 π

Agora, multiplicamos pelo fator externo da integral:

A = 2 π ⋅ 2 π = 2 π 2 2

Resposta

A = 2 π ⋅ 2 π = 2 π 2 2

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