Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2017.1, Questão 6

Considere a curva C , descrita pelo ponto P , para θ 0 , π 2 , como na figura:

Onde o raio da circunferência é 1.

Uma parametrização de C é:

  1. P θ = 1 sen θ , sen θ
  2. P θ = 1 cos θ , cos θ
  3. P θ = tg θ , cos θ
  4. P θ = 1 tg θ , sen θ
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Para parametrizar a curva C , precisamos encontrar as coordenadas do ponto P em função do parâmetro θ . Porque afinal de contas, a curva C é o conjunto de todas as posições que o ponto P   ocupa quando o θ tá variando de 0 até π 2 , sacou?!

O ponto P está nesse triangulo aí que tá desenhado na questão. Olhando pra ele, a gente vê que a coordenada x do nosso ponto P é igual a coordenada x do ponto R e a coordenada y do nosso ponto P é igual a coordenada y do ponto Q . Assim

P = x p , y p = x r , y q

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Passo 2

Vamos começar pela coordenada y . Já sabemos que:

y p = y q

Mas, o ponto Q está sobre a circinferencia x 2 + y 2 = 1 . Então, a coordenada y q vai ser a coordenada y da parametrização da circunferência, que é então:

y = sen θ = y q

Show!

Passo 3

Agora vamos a coordenada x .

Pela figura, podemos descobrir a relação que   x r tem com 1 e θ . Veja que no triângulo de vértices O , R e A , temos que:

tg θ = 1 x r

E, assim,

x r = 1 tg θ = x p  

Assim, só pra não criar um passo novo, a parametrização da nossa curva C vai ficar:

P θ = x p , y p = 1 tg θ , sen θ

Resposta

L e t r a   d

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