Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

Ver Teoria

Enunciado

Considere a curva C , descrita pelo ponto P , para θ ∈ 0 , π 2 , como na figura:

Onde o raio da circunferência é 1.

Uma parametrização de C é:

  1. P θ = 1 sen ⁡ θ , sen ⁡ θ
  2. P θ = 1 cos ⁡ θ , cos ⁡ θ
  3. P θ = tg ⁡ θ , cos ⁡ θ
  4. P θ = 1 tg ⁡ θ , sen ⁡ θ
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Para parametrizar a curva C , precisamos encontrar as coordenadas do ponto P em função do parâmetro θ . Porque afinal de contas, a curva C é o conjunto de todas as posições que o ponto P   ocupa quando o θ tá variando de 0 até π 2 , sacou?!

O ponto P está nesse triangulo aí que tá desenhado na questão. Olhando pra ele, a gente vê que a coordenada x do nosso ponto P é igual a coordenada x do ponto R e a coordenada y do nosso ponto P é igual a coordenada y do ponto Q . Assim

P = x p , y p = x r , y q

Passo 2

Vamos começar pela coordenada y . Já sabemos que:

y p = y q

Mas, o ponto Q está sobre a circinferencia x 2 + y 2 = 1 . Então, a coordenada y q vai ser a coordenada y da parametrização da circunferência, que é então:

y = sen ⁡ θ = y q

Show!

Passo 3

Agora vamos a coordenada x .

Pela figura, podemos descobrir a relação que   x r tem com 1 e θ . Veja que no triângulo de vértices O , R e A , temos que:

tg ⁡ θ = 1 x r

E, assim,

x r = 1 tg ⁡ θ = x p  

Assim, só pra não criar um passo novo, a parametrização da nossa curva C vai ficar:

P θ = x p , y p = 1 tg ⁡ θ , sen ⁡ θ

Resposta

L e t r a   d

Exercícios de Livros Relacionados

Uma curva, denominada bruxa de Maria Agnesi, consiste em todas as possíveis posições possíveis do ponto P na figura. Mostre que as equações paramétricas para essa curva podem ser escritas como x = 2 a
Deduza as Equações I para o caso π 2θπ .OBS:As equações I são as equações paramétricas do cicloide dadas pos x = r ( θ - sen ⁡ θ ) y = r ( 1 - cos ⁡ θ ) θ ∈ R
Seja P um ponto a uma distância d do centro de um círculo de raio r . A curva traçada por P wuando o círculo gira sobre uma reta é chamada trocoide. (Pense no movimento de um ponto sobre um raio de um
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r = 1 + cos ⁡ θ
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r = 2 - 2 cos ⁡ θ