Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.12. questão 4.

Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta x = t y . A haste intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 no ponto Q (figura). Quando t varia, o vértice P do triângulo Q P S descreve uma curva.

Escreva as equações paramétricas dessa curva em função do parâmetro t .

Passo 1

Vamos lá, as coordenadas do ponto P são:

P = p 1 , p 2

O que a gente precisa é encontrar uma relação entre as coordenadas desse ponto e as coordenadas ( s 1 , s 2 ) e ( q 1 , q 2 ) dos pontos S e Q .

Observando a figura a gente percebe que:

p 1 = s 1

p 2 = q 2

Assim

P = p 1 , p 2 = ( s 1 ,   q 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos encontrar as coordenadas dos pontos S e Q .

Comecemos pelo ponto S .

O que sabemos dele? Sabemos que sua coordenada y é sempre constante e igual 4 ! Assim,

S = s 1 , 4

Agora, sabemos também que o ponto S pertence à reta x = t y então:

s 1 = t . 4

s 1 = 4 t

Logo:

S = ( 4 t , 4 )

Passo 3

Para saber as coordenados do ponto Q , usamos o fato de que Q pertence a reta x = t y   e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 . Assim, a coordenada x =   q 1 do ponto Q é igual a t y :

q 1 = t y

Se substituirmos isso na equação da elipse, encontramos a coordenada y = q 2 do ponto Q .

4 x 2 + y - 2 2 = 4

4 ( t y ) 2 + y - 2 2 = 4

4 t 2 y 2 + y 2 - 4 y + 4 - 4 = 0

y 4 t 2 + 1 y - 4 = 0

y = 0

y = 4 4 t 2 + 1

O caso y = 0 não nos interessa pois representa a origem e nosso ponto Q não está na origem. Logo, as coordenadas do ponto Q   são:

Q = q 1 , q 2 = t y , 4 4 t 2 + 1 = 4 t 4 t 1 + 1 , 4 4 t 2 + 1

Passo 4

Voltando agora para aquela relação que encontramos lá no incio.

P = p 1 , p 2 = ( s 1 ,   q 2 )

Temos então que:

P = 4 t , 4 4 t 2 + 1

Resposta

P = 4 t , 4 4 t 2 + 1

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