Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Calcule m ,   n   ∈ R para que a reta r : X = n ,   2 ,   0 + λ ( 2 ,   m ,   m ) esteja contida no plano

π : x - 3 y + z = 1 .

Passo 1

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

r :   R = n ,   2 ,   0 r → = ( 2 ,   m ,   m )                     e                   π :   n → = ( 1 ,   - 3 ,   1 )

Com esses dados devemos determinar m e n para que a reta r esteja contida no plano   π .

Pela teoria sabemos que se uma reta está contida no plano, se   r → = ( e ,   f ,   g ) e n → = ( a ,   b ,   c ) , se:

a e + b f + c g = 0

Além disso, temos que qualquer ponto de r deve pertencer ao plano. Então, vamos usar essas duas informações para achar o valor de m e n .

Passo 2

Primeiro, temos que ter

a e + b f + c g = 0

Subtituindo r → = 2 ,   m ,   m = ( e ,   f ,   g ) e n → = 1 ,   - 3 ,   1 = ( a ,   b ,   c )

2 - 3 m + m = 0 → m = 1

Passo 3

Para achar o valor de n sabemos que como qualquer ponto de r pertence ao plano, então qualquer ponto deve satisfazer a equação geral do plano. Assim:

R = n ,   2 ,   0

x - 3 y + z = 1

Substituindo R :

n - 6 + 0 = 1 → n = 7

Chegamos nas duas respotas que queríamos, valor de m = 1 e n = 7 .

Resposta

m = 1         e           n = 7

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Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
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