Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Considere o plano π : x + 2 y - 2 z + 3 = 0 e as retas

r : X = - 1 ,   0 ,   7 + λ ( 2 ,   1 ,   - 4 ) e s : X = - 3 ,   0 ,   0 + λ ( 6 ,   2 ,   - 1 )

Um tetraedro tem um vértice no ponto de intersecção das retas r e s , tem volume 52 e uma de suas faces, contida no plano π , é um triângulo retângulo com ângulo reto em um ponto da reta s . Faça uma figura que represente esse tetraedro e determine as coordenadas de seus 4 vértices.

Passo 1

Primeiro vamos fazer a figura que representa esse tetraedro. Temos que:

  • Um vértice deve ser o ponto de intersecção das retas r e s
  • Uma de suas faces está no plano π e forma um triângulo retângulo (sendo o ângulo reto no ponto da reta s )

Então nosso tetraedro pode ser desenhado assim

Passo 2

Agora precisamos achar as coordenadas dos 4 vértices.

Vamos começar pelo vértice V , fazendo a intersecção das retas r e s beleza?

Antes de tudo vamos diferenciar os parâmetros, porque não podemos fazer a intersecção se o parâmetro das duas retas for o λ hehe então

r : X = - 1 ,   0 ,   7 + λ ( 2 ,   1 ,   - 4 ) e s : X = - 3 ,   0 ,   0 + t ( 6 ,   2 ,   - 1 )

Um ponto genérico da reta r é ( - 1 + 2 λ ,   λ ,   7 - 4 λ ) e um ponto genérico da reta s é ( - 3 + 6 t ,   2 t ,   - t ) .

Para encontrar a intersecção, vamos igualar esses dois pontos:

- 1 + 2 λ ,   λ ,   7 - 4 λ = ( - 3 + 6 t ,   2 t ,   - t )

Isso vai dar pra gente o sistema:

- 1 + 2 λ = - 3 + 6 t   λ = 2 t 7 - 4 λ = - t

Da última linha, temos que t = - 7 + 4 λ , substituindo na segunda linha temos

λ = - 14 + 8 λ

λ = 2

Então

t = - 7 + 4.2 = 1

Logo, o nosso ponto de intersecção vai ser

V = - 3 + 6 t ,   2 t ,   - t = ( 3 ,   2 ,   - 1 )

Passo 3

Agora vamos encontrar o vértice A ok? Ele vai ser a intersecção da reta r com o plano π .

Vamos pegar aquele ponto genérico da reta r que a gente achou no passo anterior e substituir na equação do plano π :D

π :   x + 2 y - 2 z + 3 = 0

- 1 + 2 λ + 2 λ - 2 ( 7 - 4 λ ) + 3 = 0

12 λ = 12

λ = 1

Então o vértice A vai ser

A = - 1 + 2 λ ,   λ ,   7 - 4 λ = ( 1 ,   1 ,   3 )

Passo 4

E o ponto B ?

Ele é a intersecção da reta s com o plano π né? Então bora fazer a mesma coisa do passo anterior: substituir o ponto genérico de s na equação do plano π :

π :   x + 2 y - 2 z + 3 = 0

( - 3 + 6 t ) + 2 ( 2 t ) - 2 ( - t ) + 3 = 0

12 t = 0

t = 0

Então o ponto B vai ser

B = - 3 + 6 t ,   2 t ,   - t = ( - 3 ,   0 ,   0 )

Passo 5

Agora só falta o ponto P hihi

Vamos chamar P de P = ( a ,   b ,   c ) .

Antes de tudo:

B A → = A - B = ( 4 ,   1 ,   3 )

B P → = P - B = ( a + 3 ,   b ,   c )

As informações que temos de P são:

  • Ele pertence ao plano π
  • B A → . B P → = 0
  • O volume do tetraedro total é 52

Da primeira condição, aplicando o ponto P no plano π , temos que

a + 2 b - 2 c + 3 = 0

Da segunda condição:

4 ,   1 ,   3 . a + 3 ,   b ,   c = 0

4 a + 3 + b + 3 c = 0

E da terceira condição:

1 6 B A → ,   B P → ,   B V → = 1 6 a + 3 b c 4 1 3 6 2 - 1 = ± 52

Resolvendo o determinante e passando o 6 pro outro lado:

- 7 a + 22 b + 2 c - 21 = ± 6.52

Passo 6

Agora temos que resolver o sistema:

a + 2 b - 2 c + 3 = 0 4 a + 3 + b + 3 c = 0 - 7 a + 22 b + 2 c - 21 = ± 6.52

Resolvendo esse sistema, encontramos dois possíveis valores para P :

P ' = ( - 11 ,   11 ,   7 )

P ' ' = ( 5 ,   - 11 ,   - 7 )

Aeee, encontramos todos os nossos vértices :D

Resposta

V = 3 ,   2 ,   - 1

A = ( 1 ,   1 ,   3 )

B = ( - 3 ,   0 ,   0 )

P ' = ( - 11 ,   11 ,   7 )

P ' ' = ( 5 ,   - 11 ,   - 7 )

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Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
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