Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

  1. Sejam a reta r : x 2 = y - 1 = z - 1 e a reta s : X = 1 ,   4 ,   2 + λ ( 3 ,   - 1 ,   1 ) . Determine a posição relativa entre r e s .
  2. Caso exista, determine uma equação geral para o plano π determinado pelas retas r e s .

Passo 1

  1. Primeira coisa é a gente escrever a reta r na forma vetorial! Essa expressão que ele deu é equivalente a:
  2. r :   x - 0 2 = y - 1 1 = z - 1 1

    Daqui a gente tira a sua equação vetorial!

    r : X = 0 ,   1 ,   1 + λ ( 2 ,   1 ,   1 )

    Como r e s tem vetores diretores diferentes, são concorrentes ou reversas. Pra determinar isso, vamos tentar resolver o sistema igualando suas coordenadas!

    2 λ = 1 + 3 μ 1 + λ = 4 - μ 1 + λ = 2 + μ

    Da segunda e da terceira,

    4 - μ = 2 + μ

    μ = 1

    Substituindo na primeira,

    2 λ = 1 + 3

    λ = 2

    Então achamos o nosso ponto de interseção, já que o sistema está bem definido! Portanto, as retas são concorrentes! A gente descobre o ponto de interseção substituindo na equação de uma delas.

    P = 0 ,   1 ,   1 + 2 2 ,   1 ,   1

    P = ( 4 ,   3 ,   3 )

    Passo 2

  3. Pra determinar a equação do plano, vamos pegar três vetores que estão nesse plano e calcular o produto misto deles, que tem que dar zero! Vamos pegar os vetores diretores de r , de s , e o vetor que liga o ponto P a um ponto genérico ( x , y , z ) no plano.

x - 4 y - 3 z - 3 2 1 1 3 - 1 1 = 0

Aí é só a gente calcular esse determinante, que vai nos dar:

2 x + y - 5 z + 4 = 0

Essa é a equação do nosso plano!

Resposta

  1. Concorrentes.
  2. 2 x + y - 5 z + 4 = 0

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .