Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

b) Encontre a equação geral do plano π que contém a reta r :   3 x + 2 y + z = 0 x + y - z + 1 = 0 e o ponto P = ( 1 ,   2 ,   3 ) .

Passo 1

Nosso primeiro passo é encontrar dois pontos da reta r , pra isso vamos resolver o sistema:

3 x + 2 y + z = 0 x + y - z + 1 = 0

Daí temos que x = - 1 - 3 y 4 e z = 3 + y 4 .

Atribuindo valores, podemos usar os pontos A = ( - 1 ,   1 ,   1 ) e B = ( - 4 ,   5 ,   2 )

Passo 2

Para encontrarmos a equação de π , precisamos de um plano definido por A , B e P .

Sabendo que A B → = ( - 3 ,   4 ,   1 ) e A P → = ( 2 ,   1 ,   2 ) , um ponto X = ( x ,   y ,   z ) só está no plano π se A X → ,   A B → ,   A P → = 0 . Calculando esse produto misto:

x + 1 y - 1 z - 1 - 3 4 1 2 1 2 = 0

Temos então que o plano π é

7 x + 8 y - 11 z + 10 = 0

Resposta

7 x + 8 y - 11 z + 10 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
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