Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Seja π 1 o plano que passa pelo ponto P = ( 1,0 , 1 ) e é paralelo aos vetores v → = ( 0 , - 1,0 ) e w → = 1,0 , 0 . Seja r a reta dada pela intersecção de π 1 com o plano:

π 2 : x + y + z + 4 = 0 .

Denote por Q a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π 2 , isto é, o ponto Q de π 2 tal que o vetor P Q →   seja normal a π 2 . Temos que a distância do ponto Q à reta r é igual a:

a) 2 3 ;

b) 6 ;

c) 30 ;

d) 3 2 ;

e) 2 6 .

Passo 1

Ooi pessoal, tudo bom?

Nessa questão temos dois planos: π 1 e π 2 . Eles se intersectam em uma reta r , beleza?

Sobre o plano π 1 é dito que ele passo por um ponto P = ( 1,0 , 1 ) . A projeção ortogonal desse ponto P em π 2 , resulta no ponto Q ∈ π 2 .

O que a questão nos pede é para calcular a distância entre a reta r e o ponto Q . Sacaram?

Para fazer isso, vamos primeiramente encontrar a equação da reta r gerada pela intersecção de π 1   e π 2 . Depois, buscaremos encontrar quem é o ponto Q resultante da projeção ortogonal de P em π 2 . Por fim, calcularemos a distância entre o ponto Q e a reta r .

Bora lá?!

Passo 2

Bom, vamos começar encontrando a equação da reta r .

Nos foi falado no enunciado que π 1 é o plano que passa por P = ( 1,0 , 1 ) e é paralelo aos vetores v → = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) e w → = ( 1,0 , 0 ) . Isso nos ajuda a encontrar a equação geral do plano. Basta fazermos:

x - 1 y - 0 z - 1 0 - 1 0 1 0 0 = 0

A 1 ° linha da matriz é apenas a subtração de um ponto genérico ( x , y , z ) pelo ponto P = ( 1,0 , 1 ) .

Já a 2 ° linha é o vetor v → , um vetor paralelo ao plano.

E, a 3 ° linha é o vetor w → , também um vetor paralelo ao plano.

Resolvendo o determinante, temos:

- z - 1 - 1 1 = 0

∴ z = 1

Portanto, essa é a equação geral do plano π 1 .

Já o plano π 2 tem a equação geral:

π 2 : x + y + z + 4 = 0

Para encontrar a reta r devemos fazer a intersecção dos dois planos. Assim, substituindo z = 1 , temos:

x + y + 1 + 4 = 0

⇒ r :     x + y + 5 = 0

Excelente! Já encontramos a equação da reta r .

Passo 3

Vamos agora encontrar o nosso ponto Q .

Sabemos que P Q → é perpendicular a π 2 , então vamos buscar encontrar a equação de P Q →   para depois calcular sua intersecção com π 2 : o ponto Q .

Algo importante de lembrarmos aqui é que a equação geral do plano:

a x + b y + c z = d

Já nos dá o vetor normal ao plano:

n → = ( a , b , c )

Assim, para:

π 2 : x + y + z + 4 = 0

Temos que o vetor normal vale:

n → = ( 1,1 , 1 )

Como P Q →   é perpendicular a π 2 , ela tem a mesma direção de n → . Além disso, P = ( 1,0 , 1 ) pertence a P Q → . Assim, podemos escrever a equação de P Q → :

P Q → : X = P + λ n →

= 1,0 , 1 + λ ( 1,1 , 1 )

Logo, qualquer ponto que pertence a P Q →   é dado por:

( 1 + λ ,   λ ,   1 + λ )

Só que o nosso pontinho Q , além de pertencer a P Q →   também pertence a π 2 . Substituindo ( 1 + λ ,   λ ,   1 + λ ) na equação geral de π 2 , podemos encontrar Q :

π 2 : x + y + z + 4 = 0

1 + λ + λ + 1 + λ + 4 = 0

Então:

6 + 3 λ = 0

∴ λ = - 2

Assim:

Q = ( 1 + λ ,   λ ,   1 + λ )

= 1 - 2 ,   - 2 ,   1 - 2

⇒ Q = ( - 1 , - 2 , - 1 )  

Excelente!

Passo 4

Agora que já encontramos r :

r :     x + y + 5 = 0

E, também:

Q = ( - 1 , - 2 , - 1 )

Podemos calcular d Q , r .

Para isso, basta fazermos a projeção ortogonal de uma reta ligando um ponto qualquer de r e Q , sobre a reta r .

r :     x + y + 5 = 0

Vamos chamar um ponto genérico em r por:

A = ( - 5,0 , 1 )

(Lembrando que o valor da coordenada de A em z precisar ser 1 , pois r está em π 2 : z - 1 = 0 ).

Assim, tomando a direção da reta que liga A e Q , temos:

A Q → = Q - A

= - 1 , - 2 , - 1 - ( - 5,0 , 1 )

= 4 , - 2 , - 2

Para descobrir d Q , r basta fazermos:

d Q , r = r → × A Q → r →

O Vetor r → que aparece na fórmula é o vetor direção da reta r → . Para descobri-lo, podemos fazer:

x + y + 5 = 0

∴ x = - 5 - y

Então:

r : X = ( - 5 - y ,   y ,   1 )

= - 5,0 , 1 + y ( - 1,1 , 0 )

Logo, o vetor que expressa a direção de reta r é:

r → = ( - 1,1 , 0 )

Então, fazendo pelo produto vetorial, vamos ter:

r → × A Q → = i ^ j ^ k ^ - 1 1 0 4 - 2 - 2

= - 2 i ^ - 2 j ^ + 2 - 4 k ^

= - 2 i ^ - 2 j ^ - 2 k ^

= - 2 2 + - 2 2 + - 2 2

= 12

Por outro lado:

r → = 1 2 + 1 2 + 0 2

= 2

Logo:

d Q , r = r → × A Q → r →

= 12 2

= 6

Ufaaa, terminamos! Deu um trabalhinho hein!

Obrigado pela atenção gente 😊

Resposta

Letra b): 6 .

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Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
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