Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Dada a reta r :   x + 2 y = 1 x + y + z = 0 :

  1. Escreva uma equação vetorial para r .
  2. Determine a equaão geral do plano π que contém a reta r e é paralelo ao eixo O y .

Passo 1

  1. Vamos resolver esse sistema para achar uma equação para a reta r .
  2. x + 2 y = 1 x + y + z = 0 →   x = 1 - 2 y z = - x - y → x = 1 - 2 y z = - ( 1 - 2 y ) - y

    E portanto, fazendo y = λ :

    x = 1 - 2 λ y = 0 + λ z = - 1 + λ

    Daí,

    r : X = 1 ,   0 ,   - 1 + λ ( - 2 ,   1 ,   1 )

    Passo 2

  3. O plano π contém a reta r , e portanto, contém o ponto ( 1 ,   0 ,   - 1 ) . Também podemos notar que ele é paralelo ao vetor diretor de r e ao vetor ( 0 ,   1 ,   0 ) , que define o eixo O y . Portanto, o vetor normal ao plano é normal a esses dois vetores que falamos aí em cima! Sendo assim, podemos achá-lo pelo produto vetorial!

n → = - 2 ,   1 ,   1 × ( 0 ,   1 ,   0 )

n → = i → j → k → - 2 1 1 0 1 0

n → = ( - 1 ,   0 ,   - 2 )

Portanto, a equação geral do plano π é:

- x - 2 z + d = 0

O ponto ( 1 ,   0 ,   - 1 ) pertence ao plano, então ele tem que satisfazer essa equação!

- 1 ( 1 ) - 2 - 1 + d = 0

d = - 1

Assim, o plano é:

- x - 2 z - 1 = 0

x + 2 z + 1 = 0

Resposta

  1. r : X = 1 ,   0 ,   - 1 + λ ( - 2 ,   1 ,   1 )
  2. x + 2 z + 1 = 0

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