Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Sejam as retas r : X = 0 ,   1 ,   - 1 + λ ( 1 ,   2 ,   - 1 ) e

s :   x - y - z + 3 = 0 y + 2 z - 2 = 0

  1. Determine a posição relativa entre as duas retas.
  2. Se existir um plano π que as contém, encontre a equação geral de π .

Passo 1

  1. Vamos começar encontrando a forma paramétrica de s . Somando as duas equações, vamos obter:
  2. x + z + 1 = 0

    z = - 1 - x

    Substituindo na segunda equação:

    y + 2 - 1 - x - 2 = 0

    y = 4 + 2 x

    Então, se x = λ , a reta s   é dada por:

    s :   x = λ y = 4 + 2 λ z = - 1 - λ

    Os vetores diretores de r e s são r → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) e s → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ), que são L D , e portanto, as retas são paralelas! Pode acontecer de elas serem coincidentes. Pra verificar isso, a gente pega um ponto de r e verifica se ele está em s , por exemplo ( 0 ,   1 ,   - 1 ) .

    0 = λ 1 = 4 + 2 λ - 1 = - 1 - λ

    Da primeira e da segunda equações, já vemos que o sistema é impossível, e então as retas são paralelas distintas!

    Passo 2

  3. Se as retas são paralelas, então são coplanares! Precisamos de três vetores pra determinar o plano! Sejam A = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) um ponto de r , B = ( 0 ,   4 ,   - 1 ) um ponto de s , A B → = ( 0 ,   3 ,   0 ) está no plano. O vetor diretor de r , r → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) também está no plano! Falta só um. Vamos pegar o vetor que liga o ponto A ao ponto X = ( x , y , z ) genérico que está no plano! Agora a gente faz o produto misto deles!

x y - 1 z + 1 1 2 - 1 0 3 0 = 0

3 x + 3 z + 3 = 0

x + z + 1 = 0

Resposta

  1. Paralelas distintas.
  2. x + z + 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .