Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 174-13.

Verificar se a reta r : x - 2 3 = y + 1 - 2 = z - 1 é perpendicular ao plano π :     9 x - 6 y - 3 z + 5 = 0 .

Passo 1

Opaa, como é que eu vejo se uma reta é perpendicular a um plano mesmo???

Se você tentasse resolver substituindo o vetor diretor da reta na equação do plano (sem o d ) e mostrando que isso não dá zero (reta e plano transversais), só estaria provando que a reta cruza o plano, mas o enunciado quer que a reta e o plano sejam perpendiculares (se cruzem e formem 90 ° entre si), e agora?

Vamos matutar. O plano tem um vetor normal que é perpendicular a ele (ao plano). Então, para reta ser perpendicular ao plano ela tem que ser paralela ao vetor normal!

É só a gente ver se o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano são paralelos!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para vermos se dois vetores são paralelos,

r → = α N →

Do enunciado tiramos que:

r → = ( 3 ,   - 2 ,   - 1 )

N → = ( 9 ,   - 6 ,   - 3 )

Substituindo na formulinha:

3 ,   - 2 ,   - 1 = α 9 ,   - 6 ,   - 3

Abrindo isso,

3 = 9 α →   α = 1 3 - 2 = - 6 α →   α = 1 3 - 1 = - 3 α →   α = 1 3

Como todos os valores de α são iguais,   r → é paralela a   N → e perpendicular ao plano!

Resposta

r → é paralela a   N → e perpendicular ao plano

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