Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

Ver Teoria

Enunciado

Sejam m , n   ∈ R , e considere, em E 3 , a reta r : X = n , 2,0 + λ 2 , m , n   ( λ ∈ R ) e o plano π : x - 3 y + z - 1 = 0 . Se r ⊂ π , então m + n   é igual a

a ) - 7    

b )   2  

c ) - 3        

d )   10  

e ) - 1

Passo 1

Falaaaaaa, blz?? Bora para essa questãozinha envolvendo reta e plano. Quando o enunciado nos diz que r ⊂ π isso quer dizer que a reta está sobre o plano. Isso é importante entender para sabermos como proceder no problema.

Nossa ideia aqui é usar essa informação da reta estar no plano e achar os valores pedidos.

Mas veja que por conta de r ⊂ π todos pontos da reta estão no plano, a ideia aqui é escolhermos pontos da reta e colocar na equação do plano, para fazer isso basta jogarmos valores de λ na equação da reta.

Primeiro, se P ∈ r   → P = ( n + 2 λ ,   2 + λ m ,   λ n )

Passo 2

Então vamos lá, para organizar a ideia, basta a gente jogar valores de λ , acharmos pontos de r, consequentemente de π e com isso jogar esses pontos dentro da equação do planinho, bora lá:

P 1 ∈ r   e   P 1 = n , 2,0 ,     λ = 0

P 2 ∈ r   e   P 2 = n - 2 ,   2 - m , - n ,     λ = - 1

Colocando P 1 na equação do plano:

n - 6 - 1 = 0 → n = 7

Colocando P 2 na equação:

n - 2 - 3 2 - m - n - 1 = 0

Substituindo o valor de n achado:

7 - 2 - 3 2 - m - 7 - 1 = 0

Fazendo a distributiva

= 7 - 2 - 6 + 3 m - 7 - 1 = 0

Daqui, temos que

3 m = 9

∴ m = 3

Queremos m + n , ou seja, m + n = 10

Uma questão relativamente mais tranquila, bastava ter a sacada que se a reta tá no plano, seus pontos estão e por isso respeitam a equação de π , bora para a próxima??

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .