Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Considere as retas r : X = 1,2 , 3 + λ ( - 1,0 , 1 ) e s : X = 3 , - 2,3 + λ ( 1,1 , 0 ) .

  1. Mostre que r e s são reversas.
  2. Escreva a equação geral do plano que contém r e é paralelo a s .
  3. Calcule a distância entre r e s.

Passo 1

  1. Dá pra gente ver de cara que elas não são paralelas, por causa dos vetores diretores que não são proporcionais. Então a gente tem que decidir se são concorrentes ou reversas. Pra isso, a gente faz o produto misto dos vetores diretores e de um vetor que liga dois pontos, um em cada reta. Se der zero, é porque os três estão no mesmo plano, então elas são concorrentes. Caso contrário, elas são reversas! Então bora lá! Já temos os diretores, e o vetor que liga pontos das duas retas é:
  2. A B → = 3 - 1 , - 2 - 2,3 - 3 = ( 2 , - 4,0 )

    Calculando o produto misto:

    A B → , r → , s → = 2 - 4 0 - 1 0 1 1 1 0 = - 6

    Como deu diferente de zero, as retas são reversas!

    Passo 2

  3. O ponto A = 1,2 , 3 pertence à reta r , que está no plano π . O plano também é paralelo a 1,1 , 0 , já que é pararelo a s , e a - 1,0 , 1 , já que contém r . Então, o produto misto dos dois vetores diretores de r e s , e do vetor que liga o ponto A a um ponto X = x , y , z genérico do plano, é zero, já que são coplanares! x - 1 y - 2 z - 3 - 1 0 1 1 1 0 = - x - 1 + y - 2 - z - 3 = 0
  4. Dando uma mexida na equação, obtemos:

    π : x - y + z - 2 = 0

    Passo 3

  5. A distância entre as retas é justamente a distância de um ponto de s até esse plano π , já que ele é paralelo a s e contém r ! Então beleza, vamos pegar esse ponto B = ( 3 , - 2,3 ) que pertence a s , e calcular sua distância ao plano!

d r , s = d B , π = 1 3 - - 2 + 3 - 2 1 2 + - 1 2 + 1 2

d r , s = 6 3

d r , s = 2 3

Resposta

  1. As retas são reversas.
  2. π : x - y + z - 2 = 0
  3. d r , s = 2 3

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
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Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
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