Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Determinar os valores de m e n para que a reta

r : x = 2 + t y = 1 + t z = - 3 - 2 t

Esteja contida no plano π :     m x + n y + 2 z - 1 = 0 .

Passo 1

Bom, para uma reta estar contida em um plano, ao substituir as coordenadas do vetor diretor da reta na equação do plano (sem o d ), isso tem que dar zero.

O vetor diretor da reta é   r → = ( 1 ,   1 ,   - 2 )

Vamos equacionar isso:

m . 1 + n . 1 + 2 . - 2 = 0

m + n - 4 = 0

m + n = 4

Passo 2

Além disso, os pontos da reta precisam satisfazer a equação do plano também (já que a reta está “dentro” do plano). Um ponto de r é ( 2 ,   1 ,   - 3 ) .

Substituindo esse ponto na equação do plano,

m . 2 + n . 1 + 2 . - 3 - 1 = 0

2 m + n - 6 - 1 = 0

2 m + n = 7

Opaa, agora temos um sistema!

m + n = 4 2 m + n = 7

Passo 3

Vamos resolver esse “sistemoso” aí!

m + n = 4 2 m + n = 7

Da primeira equação tiramos que n = 4 - m

Substituindo isso na segunda (equação):

2 m + 4 - m = 7

m = 3

Logo, n = 1

Uhullll!!

Resposta

m = 3   e n = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .