Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Considere as retas r 1 e r 2 de R 3 cujas equações paramétricas são

r 1 : 1 + t ,   2 t ,   1 - 2 t ,   t ∈ R

r 2 : a + 2 t ,   1 + t ,   10 + t ,   t ∈ R

A reta r 3 de equação cartesiana

r 3 :   x + y + z = 3 x - y + 2 z = 1

E o plano π de equação cartesiana

π : x + y + 2 z = 4

b) Determine a equação cartesiana do plano φ que contém a reta r 1 e é paralelo a r 2 .

Passo 1

Um vetor normal do plano que queremos pode ser dado pelo produto vetorial dos vetores diretores de r 1 e r 2 , concorda?

Porque as duas retas são paralelas ao plano, então seu produto vetorial será perpendicular, e portanto, um vetor normal.

Logo, como os seus vetores diretores são ( 1 ,   2 ,   - 2 ) e ( 2 ,   1 ,   1 ) (lembrando que os vetores diretores são formados pelos coeficientes do parâmetro t )

n = 1 ,   2 ,   - 2 ∧ 2 ,   1 ,   1 = ( 4 , -   5 ,   - 3 )

Então, a equação do plano pode ser escrita assim

4 x - 5 y - 3 z + d = 0

Passo 2

O plano contém a reta r 1 certo? Então, ele contém o ponto ( 1 ,   0 ,   1 ) da equação da reta.

Para encontrarmos d , vamos substituir esse ponto na equação do plano:

4.1 - 5.0 - 3.1 + d = 0

d = - 1

Então, a equação do plano é

4 x - 5 y - 3 z - 1 = 0

Resposta

4 x - 5 y - 3 z - 1 = 0

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .