Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Considere as retas:

r 1 = 1,0 , 0 + t 2,1 , 0 t ∈ R

r 2 = { 1,1 , 4 + l ( 0,1 , 2 ) | l ∈ R }

Determine:

  1. A distância entre as retas r 1 e r 2 .
  2. A equação cartesiana do plano Π   que contém r 2 e é paralelo a r 1
  3. Uma equação paramétrica da reta r 3 , que é a reflexão de r 1 com relação ao plano Π definido no item (b)

Passo 1

a)

Para calcular a distância entre retas precisamos ligá-las por uma reta que seja perpendicular às duas:

E medir o tamanho, ou seja, o módulo do vetor P Q → . Sabemos que:

  • sua origem é um ponto de r 1 e sua extremidade é um ponto de r 2
  • ele é ortogonal ao vetor diretor de r 1 e ao vetor de r 2 , ou seja, r 1 → ∙ P Q → = 0 e r 2 → ∙ P Q → = 0  

Vamos aplicar isso aí então, primeiro achamos o vetor genérico P Q → :

P = 1,0 , 0 + t 2,1 , 0 = ( 1 + 2 t , t , 0 )

Q = 1,1 , 4 + l 0,1 , 2 = ( 1,1 + l ,   4 + 2 l )

P Q → = Q - P = 1,1 + l ,   4 + 2 l - ( 1 + 2 t , t , 0 ) = ( - 2 t , 1 + l - t , 4 + 2 l )

Agora vamos fazer o produto interno desse vetor com os vetores diretores de cada reta:

r 1 → ∙ P Q → = 0

2,1 , 0 ∙ - 2 t , 1 + l - t , 4 + 2 l = 0 ⟹ - 5 t + l + 1 = 0

r 2 → ∙ P Q → = 0

0,1 , 2 ∙ - 2 t , 1 + l - t , 4 + 2 l = 0 ⟹ 5 l + 9 - t = 0

Agora é só resolver o sistema:

- 5 t + l + 1 = 0 5 l + 9 - t = 0

E assim achamos t = - 1 6 e l = - 11 6

Substituindo, vamos achar nosso vetor:

P Q → = - 2 t , 1 + l - t , 4 + 2 l = 1 3 , - 2 3 , 1 3

Pra terminar, agora, é só calcular o seu módulo:

P Q → = 1 1 2 + - 2 3 2 + 1 3 2 = 6 3

Passo 2

b)

Para encontrarmos a equação cartesiana de um plano precisamos de 2 informações:

  • ponto pertencente ao plano
  • vetor normal ao plano

Como a reta r 2 pertence ao plano que quero criar, posso escolher um ponto dela como o meu ponto. Por exemplo, ( 1,1 , 4 ) .

O meu vetor normal precisa ser ortogonal tanto ao vetor diretor de r 2 como ao de r 1 . Assim, aplicamos o produto vetorial:

n = 2,1 , 0 × 0,1 , 2 = i → j → k → 2 1 0 0 1 2 = 2 i → - 2 j → + 2 k →

n = ( 2 , - 4,2 )

Como as coordenadas do vetor normal são os coeficientes das variáveis da equação do plano, temos:

2 x - 4 y + 2 x = a

E agora usamos o ponto para achar a :

2 ( 1 ) - 4 ( 1 ) + 2 ( 4 ) = a

a = 6

Assim, Π = 2 x - 4 y + 2 z = 6

Passo 3

c)

Como sabemos da letra b, a reta r 1 é paralela ao plano, ou seja, ela não corta o plano!

Assim, a reflexão vai ser simplesmente ver qual a reta é paralela ao plano e está a mesma distancia dele d que a reta r 1 está.

Repara que essa distancia d   é a mesma distância P Q → que calculamos na letra a.

R = x , y , z r 3

R - P = 2 ( P Q → )

Substituindo os valores que já temos:

R = 2 1 3 , - 2 3 , 1 3 + ( 1 + 2 t , t , 0 )

Sendo que t = - 1 6 então:

R = 2 1 3 , - 2 3 , 1 3 + 2 3 ,   - 1 6 , 0 = 4 3 , - 3 2 , 2 3

Temos o ponto, e o vetor diretor vai ser o mesmo de r 1 , então:

r 3 = 4 3 , - 3 2 , 2 3 + t ( 2,1 , 0 )

Resposta

  1. 6 3
  2. Π = 2 x - 4 y + 2 z = 6
  3. r 3 = 4 3 , - 3 2 , 2 3 + t ( 2,1 , 0 )

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .