Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Dados o plano

π :     X = 1 ,   1 ,   3 + λ 1 ,   - 1 ,   1 + µ 0 ,   1 ,   3

e a reta

r : X = 1 ,   1 ,   1 + α 3 ,   2 ,   1

Estude a posição relativa de r   e π .

Passo 1

Até agora estávamos estudando a posição relativa entre retas!! Chegou a vez da posição relativa entre reta e plano! Para verificar a posição relativa entre a reta r e o plano π o enunciado nos dá a equação vetorial do plano e da reta. Com isso, conseguimos retirar os seguintes dados.

Dados:

r :   R = ( 1 ,   1 ,   1 ) r → = ( 3 ,   2 ,   1 )                       e                     π :   A = ( 1 ,   1 ,   3 ) v → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) u → = ( 0 ,   1 ,   3 )

Passo 2

Pelos dados retirados das equações vetoriais tanto da reta como do plano, temos dois vetores paralelos ao plano. Assim, vamos utilizar a análise entre reta e plano que leva em consideração o produto misto entre o vetor diretor da reta e os vetores do plano.

Assim, primeiro vamos verificar quanto vale o produto misto entre eles. Ressaltando aqui que os vetores do plano não podem ser proporcionais entre si, mas só de olhar para v → e u → percebemos que eles não são proporcionais. Bora montar o produto misto!!

O produto misto deu diferente de ZERO, portanto a reta e o plano são TRANSVERSAIS.

Resposta

r   é   t r a n s v e r s a l   a   π

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .