Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Determinar a equação geral do plano perpendicular a reta

r : x = 2 y - 3 z = - y + 1

E que contém o ponto A ( 1 ,   2 ,   3 ) .

Passo 1

Vamos por partes! Vou começar passando a fórmula da reta para forma simétrica (para facilitar a visualização).

Vamos escrever as coordenadas em função de y :

r : x = 2 y - 3 → y = x + 3 2 z = - y + 1 → y = - z + 1

Assim,

r : x + 3 2 = y = z - 1 - 1

Passo 2

Beleza! Agora vamos dar uma “bizoiada” no enunciado. Lá, ele diz que a reta e o plano são perpendiculares e isso significa que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal ao plano! Ou seja, o vetor diretor da reta é o vetor normal ao plano!

Então, se pensarmos em uma equação geral genérica, seria

π : a x + b y + c z + d = 0

Como, o vetor diretor da reta é   r → = 2 ,   1 ,   - 1 = N →   . Substituindo na equação do plano,

π : 2 x + 1 y - 1 z + d = 0

E o d ????

Calma, pequeno gafanhoto! No enunciado ele também dá um ponto do plano!

Substituindo o ponto A ( 1 ,   2 ,   3 ) na equação do plano,

2.1 + 1.2 - 1.3 + d = 0

d = - 1

Assim,

π : 2 x + y - z - 1 = 0

Resposta

π : 2 x + y - z - 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
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Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
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