Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Verificar se r e π são perpendiculares, sendo

r : X = 0 ,   1 ,   0 + λ 1 ,   1 ,   3       λ ∈ R

π : X = 3 ,   4 ,   5 + λ 6 ,   7 ,   8 + µ 9 ,   10 ,   11     ( λ , µ   ∈ R )

Passo 1

Temos as equações vetoriais da reta r e do plano π .

Dados:

r :   R = ( 0 ,   1 ,   0 ) r → = ( 1 ,   1 ,   3 )               e               π : A = ( 3 ,   4 ,   5 ) v → = ( 6 ,   7 ,   8 ) u → = ( 9 ,   10 ,   11 )

Com esses dados devemos verificar se a reta e o plano são perpendiculares.

Mas, como faz isso ??? Na teoria só fala de perpendicularidade quando comparamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano!!! Não tenho o vetor normal do plano!!

Calma!!! Para tudo tem um jeito, e vamos te ensinar como fazer!!!

Passo 2

Não temos o vetor normal ao plano, massss, nós temos dois vetores que são paralelos ao plano. Assim, se fizermos o produto vetorial desses dois vetores, encontraremos o vetor normal ao plano. Blz? Bora, fazer o produto vetorial então!!

80 i → + 66 j → + 63 k → - 60 k → - 77 i → - 72 j → = 3 i → - 6 j → + 3 k →

n → = ( 3 ,   - 6 ,   3 )

Passo 3

Agora sim, que temos o vetor normal do plano podemos usar nossa teoria para verificar se a reta e o plano são perpendiculares. Para isso devemos ver se:

r → = α n →

Vamos checar?

1 ,   1 ,   3 = α 3 ,   - 6 ,   3

x → 1 = 3 α →   α = 1 3

y → 1 = - 6 α →   α = - 1 6

z → 3 = 3 α →   α = 1

Como

1 3 ≠ - 1 6 ≠ 1

Portanto, a reta e o plano não são perpendiculares.

Resposta

N ã o   s ã o   p e r p e n c i d u l a r e s  

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .