Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

Ver Teoria

Enunciado

Verificar se a reta r : x - 2 3 = y + 1 - 2 = z - 1 é perpendicular ao plano π :     9 x - 6 y - 3 z + 5 = 0 .

Passo 1

Opaa, como é que eu vejo se uma reta é perpendicular a um plano mesmo???

Se você tentasse resolver substituindo o vetor diretor da reta na equação do plano (sem o d ) e mostrando que isso não dá zero (reta e plano transversais), só estaria provando que a reta cruza o plano, mas o enunciado quer que a reta e o plano sejam perpendiculares (se cruzem e formem 90 ° entre si), e agora?

Vamos matutar. O plano tem um vetor normal que é perpendicular a ele (ao plano). Então, para reta ser perpendicular ao plano ela tem que ser paralela ao vetor normal!

É só a gente ver se o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano são paralelos!!

Passo 2

Para vermos se dois vetores são paralelos,

r → = α N →

Do enunciado tiramos que:

r → = ( 3 ,   - 2 ,   - 1 )

N → = ( 9 ,   - 6 ,   - 3 )

Substituindo na formulinha:

3 ,   - 2 ,   - 1 = α 9 ,   - 6 ,   - 3

Abrindo isso,

3 = 9 α →   α = 1 3 - 2 = - 6 α →   α = 1 3 - 1 = - 3 α →   α = 1 3

Como todos os valores de α são iguais,   r → é paralela a   N → e perpendicular ao plano!

Resposta

r → é paralela a   N → e perpendicular ao plano

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .