Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Seja “ X ” e “ Y ” duas Variáveis aleatórias discretas cuja função de probabilidade conjunta é expressa por:

f x , y = 1 k 1 4 x 2 3 y   ,     p a r a   x = 3,4 , 5 …       e   y = 3,4 , 5 …

a) Determine a constante “ k ” para que f ( x , y ) seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .

b) Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .

Passo 1

a)

Para uma função de densidade ser realmente de densidade:

∬ - ∞ + ∞ f x , y d x d y = 1

Mas repara comigo, nosso domínio é de números naturais: 3,4,5...

Então nossas v.a.s não discretas! Até podemos resolver isso aí fazendo do modo usual, mas eu não tô muito empolgada pra resolver essa integral lindíssima com x e y no expoente, vocês estão? Pois é...

Então vamos “discretizar” nossa integral, que nada mais é que uma soma de valores contínuos. Então vamos substituí-la por uma soma de valores discretos, ou o famoso somatório! Então vamos fazer:

∑ i = 3 ∞ ∑ i = 3 ∞ 1 k 1 4 x 2 3 y = 1 k ∑ i = 3 ∞ 1 4 x ∑ i = 3 ∞ 2 3 y = 1

Agora eu preciso que vocês lembrem do macete da série geométrica, esse aqui ó:

∑ k = 1 ∞ a k = a 1 - a

Nosso a são as nossas frações na base e nosso k são nossas incógnitas x e y ! Show? Podemos botar a série geométrica lá?

Nãooo, atenção ao índice do somatório! Ele começa no 1, e nossos somatórios começam no 3. Então vamos somar as parcelas do somatório com índice 1 e 2 pra garantir a igualdade. Assim:

1 4 1 + 1 4 2 + ∑ i = 3 ∞ 1 4 x = 1 4 1 - 1 4

2 3 1 + 2 3 2 + ∑ i = 3 ∞ 2 3 y = 2 3 1 - 2 3

Isolando os somatórios e fazendo essas continhas:

∑ i = 3 ∞ 1 4 x = 0,0208

∑ i = 3 ∞ 2 3 y = 0,8888

Voltando a nossa condição para fazer de f ( x , y ) uma densidade e substituindo os valores:

1 k ∑ i = 3 ∞ 1 4 x ∑ i = 3 ∞ 2 3 y = 1

1 k × 0,0208 × 0,8888 = 1

k = 0,0185

Passo 2

b)

Lembrando a fórmula da densidade condicional de X dado que Y = y :

f x y = f ( x , y ) f y ( y )

Onde f y ( x ) é a marginal de Y dada por:

f y y = ∫ 3 ∞ f x , y d x

Mas vimos que nessa questão podemos usar o somatório no lugar da integral, então:

f y y = 1 0,0185 ∑ i = 3 ∞ 1 4 x 2 3 y

Como a integral é em função de x , nosso somatório também vai ser em função de x , ou seja, os termos com y podem sair do somatório como se fossem constantes:

f y y = 1 0,0185 2 3 y ∑ i = 3 ∞ 1 4 x

E nós já calculamos esse somatório lá em cima! Substituindo o resultado:

f y y = 1 0,0185 × 2 3 y × 0,0208 = 1,1243 2 3 y

Agora podemos calcular nossa condicional:

f x y = f ( x , y ) f y ( x ) = 1 0,0185 1 4 x 2 3 y 1,1243 2 3 y = 48,0780 1 4 x

Resposta

k = 0,0185

f x y = 48,0780 1 4 x

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