Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Sejam X e Y v.a.’s discretas com densidade conjunta:

f x , y = 1 k 3 5 x 2 3 y ,     o n d e :       x = 3,4 , 5 , …         y = 1,2 , 3 , …

Pede-se:

  1. Determine a constante k para que f ( x , y ) seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y , mostre a função f ( x , y ) ?
  2. Encontre a densidade marginal de X e Y .
  3. X e Y são independentes? Por que? Justifique.

Passo 1

(a)

Pra calcular a constante é só integrar e igualar a 1 que é a condição para ser uma função de probabilidade.

∫ 3 + ∞ ∫ 1 + ∞ 1 k 3 5 x 2 3 y   d y d x

Mas integrar isso é muito difícil, então vamos usar somatórios no lugar das integrais e usar aquela ideia da série geométrica.

1 k ∑ i = 3 ∞ 3 5 x ∑ i = 1 ∞ 2 3 y

A gente sabe que:

∑ i = 0 ∞ a k = 1 + a + a ² + … = 1 1 - a

∑ i = 1 ∞ a k = a + a 2 + a 3 + … = a 1 + a + a 2 + … = a 1 - a

∑ i = 2 ∞ a k = a ² + a ³ + a 4 + … = a 2 1 + a + a 2 + … = a 2 1 - a

∑ i = 3 ∞ a k = a ³ + a 4 + a 5 + … = a 3 1 + a + a 2 + … = a 3 1 - a

Passo 2

Aplicando isso que a gente viu no caso:

∑ i = 3 ∞ 3 5 x = 3 5 3 1 - 3 5 = 3 5 3 2 5 = 27 125 × 5 2 = 27 50

∑ i = 1 ∞ 2 3 y = 2 3 1 - 2 3 = 2 3 × 3 = 2

Juntando tudo teremos:

1 k × 27 50 × 2 = 1 k × 27 25

E isso tem que ser igual a 1 :

k = 27 25

Passo 3

(b)

Para a densidade marginal de Y :

f y = 25 27 . 2 3 y ∑ i = 3 ∞ 3 5 x

Substituindo o valor do somatório que nós já calculamos antes.

f y = 25 27 . 2 3 y . 27 50

f y = 1 2 . 2 3 y

Passo 4

Já para a densidade de X :

f x = 25 27 . 3 5 x ∑ i = 1 ∞ 2 3 y

= 25 27 . 3 5 x . 2

f x = 50 27 . 3 5 x

Passo 5

Pras variáveis serem independentes elas tem que verificar a seguinte condição:

f x , y = f x . f y

f x . f y = 50 27 . 3 5 x × 1 2 . 2 3 y

= 25 27 . 3 5 x . 2 3 y

Que é a mesma coisa que a função f ( x , y ) . Isso significa que as variáveis são independentes.

Resposta

a   k = 27 25

b   f x = 50 27 . 3 5 x     ,     f y = 1 2 . 2 3 y

c   S ã o   i n d e p e n d e n t e s

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