Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

PUCRIO-P2-2013.2-5(a)(b)

Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta:

f x , y = - 3 4 y + 2 x y       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ 1

Dados:

Marginal de X : f x = x - 1 2

Marginal de Y : f y = 4 y - 3 2 y

Pede-se:

  1. Densidade condicional de Y dado X = x .
  2. Média condicional de Y   dado X = x , e calcule o valor quando x = 1,5 .

Passo 1

(a)

Pra resolver cada um desses itens vai ser basicamente aplicar fórmula, então vamos lá.

Pra calcular a densidade condicional f Y X = x , vamos aplicar:

f Y X = x = f x , y f x

Os dois já são dados do problema, só fazer conta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos as contas...

= - 3 4 y + 2 x y x - 1 2

= - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1 2

= 2 × - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1

= - 6 4 y + 4 x y 2 x - 1  

= - 6 y + 16 x y 4 2 x - 1

= - 3 y + 8 x y 2 2 x - 1  

= - 3 y + 8 x y 4 x - 2

Tá bom por aí já.

Passo 3

(b)

Agora a fórmula é:

E Y X = x = ∫ 0 1 y . f ( Y | X = x )   d y

De 0 a 1 porque esses são os limites de y do enunciado.

Esse valor de dentro da integral foi o que a gente usou no item anterior.

= ∫ 0 1 y . - 3 y + 8 x y 4 x - 2   d y

= 1 4 x - 2 ∫ 0 1 - 3 y 3 2 + 8 x y ² d y

Passo 4

Vamos integrar...

∫ 0 1 - 3 y 3 2 + 8 x y 2 d y =

= - 3 × 2 5 y 5 2 + 8 x 3 y 3 0 1

= - 6 5 + 8 x 3

E Y X = x = - 6 5 + 8 x 3 4 x - 2

Não pode esquecer desse denominador aí que eu tinha tirado da integral. Vou simplificar.

= - 3 × 6 + 5 × 8 x 15 4 x - 2

= - 18 + 40 x 60 x - 30

= 20 x - 9 30 x - 15

Passo 5

Agora podemos calcular pra quando x = 1,5 .

E Y X = 1,5 = 20 × 1,5 - 9 30 × 1,5 - 15

= 0,7

Passo 6

Resposta

a   - 3 y + 8 x y 4 x - 2

b   20 x - 9 30 x - 15       ,     0,7

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